知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知正方体AC₁的棱长为a，过B₁作B₁E⊥BD₁于点E，过点E作EF⊥BD于F．
（1）证明EF∥平面ABB₁A₁；
（2）求A，E两点之间的距离．

难度：中等

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2．如图，在正方形AG₁G₂G₃中，点B，C分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，点E，F分别是G₃C，AC的中点，现在沿AB，BC及AC把这个正方形折成一个四面体，使G₁，G₂，G₃三点重合，重合后记为G．
（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；
（Ⅱ）求证：AG⊥BC
（Ⅲ）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，求证：平面EFB⊥平面GBC．

难度：中等

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3．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=6，点E、F分别在棱BB₁、CC₁上，且BE=
1
3
BB₁，C₁F=
1
3
CC₁．
（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；
（2）若G为BC的中点，A₁G与平面AEF交于H，且设
A1H
=λ
A1G
，求λ的值．

难度：中等

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4．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥B₁D，BB₁⊥底面ABCD，E为线段AD上的任意一点（不包括A、D两点），平面CEC₁与平面BB₁D交于FG．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）证明：FG∥平面AA₁B₁B．

难度：中等

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5．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=3，E为B₁C₁的中点，F在CC₁上，且C₁F=1，G在AA₁上，且AG=2．
（1）证明：DG∥平面A₁EF；
（2）设平面A₁EF与DD₁交于点H，求线段DH的长，并求出截面A₁EFH的面积．

难度：较易

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6．在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求∠CAB₁的度数；
（2）求二面角B-AC-B₁的平面角的正切值．

难度：中等

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7．如图．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是B₁C₁，C₁D₁上的点，G，H分别是BC，CD上的点．
（1）若EF分别是B₁C₁，C₁D₁的中点，证明：四边形BEFD为等腰梯形；
（2）若C₁E=CG，C₁F=CH，证明：四边形EFHG为矩形；
（3）该长方体的三个面的对角线长分别为a，b，c，求长方体对角线AC₁的长．

难度：中等

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8．把一个放在水平地面上、长为l的匀质链条竖直向上刚好拉直时，它的重心位置升高多少？一个放在水平地面上、棱长为a的均匀正方体，绕其一条棱翻转时，其重心位置升高的最大高度是多少？

难度：较易

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9．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面边长为2，高为
3
，D为A₁B₁的中点，建立适当的坐标系，写出A、B，C，D、C₁、B₁的坐标，并求出CD的长．

难度：较易

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10．已知直三棱柱底面各边的比为17：10：9，侧棱长为16cm，全面积为1440cm²，求底面各边之长．（提示：设△ABC的三边长分别为a，b，c，记p=
1
2
（a+b+c），则△ABC的面积S_△ABC=
p(p-a)(p-b)(p-c)
．

难度：中等

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