知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）若四边形CAA₁C₁和BAA₁B₁都是正方形，求多面体CA₁C₁BD的体积．

难度：较易

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2．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2，AB=1，E是DD₁上的一点．
（1）求异面直线AC与B₁D所成的角；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求三棱锥A-CDE的体积．

难度：较易

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3．如图，已知三棱锥P-ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC；
（Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P-ABC的体积．

难度：较易

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4．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．
（1）求原来圆锥的侧面积；
（2）求该几何体的体积．

难度：较易

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5．如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ABC=60°，AA₁=AC=2，A₁B=A₁D=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，点E在A₁D上，且E为A₁D的中点
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求三棱锥D-ACE的体积V_D-ACE．

难度：中等

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6．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等边三角形，且AA₁⊥平面ABC，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：直线BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）若AB=BB₁=2，E是BB₁的中点，求三棱锥A₁-CDE的体积．

难度：较易

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7．如图，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD，E是边SB的中点．
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D-EC-B的余弦值大小；
（3）求三棱锥S-ECD与四棱锥E-ABCD的体积比．

难度：较易

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8．如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在的平面相互垂直，AB=2AD=6，点E为线段AB上一点．
（1）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；
（2）若直线EM与平面所成角的大小为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ，求V_E-ADMN：V_E-CDM．

难度：易

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9．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）求三棱锥C-DD₁E的体积；
（2）求证：D₁E⊥A₁D．

难度：易

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10．如图，在平行四边形么BCD中，∠DAB=60°，AD=4，AB=2，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面CDE；
（Ⅱ）当∠CDE取何值时，三棱锥E-ABD的体积取最大值？并求此时三棱锥E-ABD的侧面积．

难度：中等

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