如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．

已知\(SC\)是球\(O\)的直径，\(A,B\)是球\(O\)球面上的两点，且\(CA=CB=1,AB=\sqrt{3}\)，若三棱锥\(S-ABC\)的体积为\(1\)，则球\(O\)的表面积为________

\((1)\)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为\(1,2,3.\)则此球的表面积为                 ．

\((2)\)已知两圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10\)和\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=10\)相交于\(A,B\)两点，则直线\(AB\)的方程是                       ．

\((3)\)正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为              ．

\((4)\)已知抛物线\({{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)\)，\(F\)为其焦点，\(l\)为其准线，过\(F\)任作一条直线交抛物线于\(A,B\)两点，\({A}{{'}},{B}{{'}}\)分别为\(A,B\)在\(l\)上的射影，\(M\)为\({A}{{'}}{B}{{'}}\)的中点，给出下列命题：

\(①{A}{{'}}F\bot {B}{{'}}F ;\)       

\(②AM\bot BM ;\)     

\(③{A}{{'}}F/\!/BM ;\)  

\(④{A}{{'}}F\)与\(AM\)的交点在\(y\)轴上\(;\)     

\(⑤A{B}{{'}}\)与\({A}{{'}}B\)交于原点．

其中真命题是                     \(.(\)写出所有真命题的序号\()\)

\((1)\)已知直线的倾斜角的范围是\(\alpha \in \left[ \dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{2} \right]\)，则此直线的斜率\(k\)的取值范围是_______．

\((2)\)若等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{2}}+{{a}_{4}}=20,{{a}_{3}}+{{a}_{5}}=40\)，则前\(n\)项\({{S}_{n}}=\) ___     __．

\((3)\)如图，在四边形\(ABCD\)中，已知\(AD\)\(⊥\)\(CD\)，\(AD\)\(=10\)，\(AB\)\(=14\)，\(∠\)\(BDA\)\(=60^{\circ}\)，\(∠\)\(BCD\)\(=135^{\circ}\)，则\(BC\)的长为_______．

\((4)\)已知三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的\(6\)个顶点都在球\(O\)的球面上，若\(AB=3\)，\(AC=4\)，\(AB⊥AC\)，\(AA_{1}=12\)，则球\(O\)的半径为_______．

\((1)\)已知点\(P(x,y)\)的坐标满足条件\(\begin{cases}x+y\leqslant 4 \\ y\geqslant x \\ x\geqslant 1\end{cases} \)，则\(x^{2}+y^{2}\)的最大值为________。

\((2)\)已知数列\(｛a_{n}｝\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n}-a_{n-1}=2^{n-1}(n\geqslant 2)\)，则\(a_{8}=\)________．

\((3)\)已知四面体\(ABCD\)的每个顶点都在球\(O\)的球面上，\(AD⊥\)底面\(ABC\)，\(AB=BC=CA=3\)，\(AD=2\)，则球\(O\)的表面积为________．

\((4)\)设\(x\)，\(y∈R\)，定义\(x⊗ y=x(a-y)(a∈R\)，且\(a\)为常数\()\)，若\(f(x)=e^{x}\)，\(g(x)=e^{-x}+2x^{2}\)，\(F(x)=f(x)⊗ g(x)\)．

\(①g(x)\)不存在极值；

\(②\)若\(f(x)\)的反函数为\(h(x)\)，且函数\(y=kx\)与函数\(y=｜h(x)｜\)有两个交点，则\(k= \dfrac{1}{e} \)；

\(③\)若\(F(x)\)在\(R\)上是减函数，则实数\(a\)的取值范围是\((-∞,-2］\)；

\(④\)若\(a=-3\)，在\(F(x)\)的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．

其中真命题的序号有________\((\)把所有真命题序号写上\()\)．

\((1)\)已知点\(P(x,y)\)的坐标满足条件\(\begin{cases}x+y\leqslant 4 \\ y\geqslant x \\ x\geqslant 1\end{cases} \)则\(x^{2}+y^{2}\)的最大值为________

\((2)\)已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n}-a_{n-1}=2^{n-1}(n\geqslant 2)\)，则\(a_{8}=\)________．

\((3)\)已知四面体\(ABCD\)的每个顶点都在球\(O\)的球面上，\(AD⊥\)底面\(ABC\)，\(AB=BC=CA=3\)，\(AD=2\)，则球\(O\)的表面积为________

\((4)\)已知函数\(f(x)=x\ln x+x^{2}\)，且\(x_{0}\)是函数\(f(x)\)的极值点\(.\)给出以下几个命题：

\(①0 < {x}_{0} < \dfrac{1}{e} \)；\(②{x}_{0} > \dfrac{1}{e} \)；\(③f(x_{0})+x_{0} < 0\)；\(④f(x_{0})+x_{0} > 0\)

其中正确的命题是________\(.(\)填出所有正确命题的序号\()\)