知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．长方体AC₁的长、宽、高分别为3、2、1，求从A到C₁沿长方体的表面的最短距离．

难度：较易

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2．（2015春•上海校级期中）正三棱锥P-ABC的侧面是底边长为a，顶角为30°的等腰三角形．过点A作这个三棱锥的截面AEF，点E、F分别在棱PB、PC上．
（1）如图，作出平面AEF与平面ABC的交线；
（2）△AEF周长的最小值是否存在？若存在，求出其最小值，并指出此时直线BC与平面AEF的位置关系；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．（2015秋•绍兴校级期中）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AB=3
2
，AC=3，∠CAB=90°，P、Q分别为棱BB₁、CC₁上的点，且BP=
1
3
BB₁，CQ=
2
3
CC₁．
（1）求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小．
（2）在线段A₁B（不包括两端点）上是否存在一点M，使AM+MC₁最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．一个几何体的三视图及部分度量值如图所示，其中，正视图与侧视图都是由一个正方形和一个等腰三角形组成，俯视图是一个圆．
（1）判断该几何体的结构特征，并求其表面积；
（2）如果正视图中的点P是其所在线段的中点，点Q是其所在正方形的顶点，试求：在原几何体的侧面上，从P点到Q点的最短路径的长．

难度：中等

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5．圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，上底面一条半径OA与下底面一条半径O′B′成60°角，求：
（1）直线AB′与圆柱的轴OO′所成的角（用反三角函数值表示）；
（2）直线AB′与平面OAA′O′所成角的大小；
（3）点A沿圆柱侧面到达点B′的最短距离．

难度：中等

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6．圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，上底面一条半径OA与下底面一条半径O′B′成60°角，求：
（1）线段AB′的长；
（2）直线AB′与圆柱的轴OO′所成的角（用反三角表示）；
（3）点A沿圆柱侧面到达点B′的最短距离．

难度：中等

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7．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，有A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

难度：较难

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8．宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r（r＞0）的球．人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统．已知行星表面上的A点落在北纬60°，东经30°；B点落在东经30°的赤道上；C点落在北纬60°，东经90°．在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离．
（1）求AC两点间的球面距离；
（2）求P点的经度；
（3）求AP两点间的球面距离．

难度：较难

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9．如图，已知正三棱柱ABC-A′B′C′棱长均为2，E为AB中点．点D在侧棱BB′上．
（Ⅰ）求AD+DC′的最小值；
（Ⅱ）当AD+DC′取最小值时，在CC′上找一点F，使得EF∥面ADC′．

难度：中等

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10．如图，在正三棱柱中，AB=2，AA₁=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与棱AA₁的交点记为M，求：
（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅱ）该最短路线的长及
A1M
AM
的值；
（Ⅲ）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）．

难度：较难

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