知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面为直角梯形，\(AD/\!/BC\)，\(∠BAD=90^{\circ}\)，\(PA\)垂直于底面\(ABCD\)，\(PA=AD=AB=2BC=6\)，\(M\)，\(N\)分别为棱\(PC\)，\(PB\)的中点．
\((1)\)求证：\(PB⊥\)平面\(ANMD\)；
\((2)\)求截面\(ANMD\)的面积．

难度：较易

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2．
如图，长方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AB=16\)，\(BC=10\)，\(AA_{1}=8\)，点\(E\)，\(F\)分别在\(A_{1}B_{1}\)，\(D_{1}C_{1}\)上，\(A_{1}E=D_{1}F=4\)，过点\(E\)，\(F\)的平面\(α\)与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

\((1)\)在图中画出这个正方形\((\)不必说明画法与理由\()\)．

\((2)\)求平面\(α\)把该长方体分成的两部分体积的比值．

难度：难

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3．

如图，在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中\(.\)

\((1)\)求证：\(AC⊥BD_{1}\)；

\((2)\)是否存在直线与直线 \(AA_{1}\)，\(CC_{1}\)，\(BD_{1}\)都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线\((\)不必说明画法及理由\()\)；若不存在，请说明理由。

难度：易

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4．如图所示，在棱长为\(2\)的正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中， \(E\)、 \(F\)、 \(G\)、 \(H\)分别是棱\(AB\)，\(BC\)，\(C_{1}D_{1}\)，\(CC_{1}\)的中点，，若 \(E\)、 \(F\)、 \(G\)、 \(H\)四点共面，过四点 \(E\)、 \(F\)、 \(G\)、 \(H\)的平面\(α\)与此正方体的面相交，交线围成一个正六边形。

\((1)\)在图中画出这个正六边形。\((\)不必说出画法和理由\()\)
\((2)\)求直线\(AG\)与平面\(α\)所成的角的正弦值。

难度：难

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5．
如图，已知直四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的底面是直角梯形，\(AB⊥BC\)，\(AB/\!/CD\)，\(E\)，\(F\)分别是棱\(BC\)，\(B_{1}C_{1}\)上的动点，且\(EF/\!/CC_{1}\)，\(CD=DD_{1}=1\)，\(AB=2\)，\(BC=3\)．
\((\)Ⅰ\()\)证明：无论点\(E\)怎样运动，四边形\(EFD_{1}D\)都为矩形；
\((\)Ⅱ\()\)当\(EC=1\)时，求几何体\(A-EFD_{1}D\)的体积．

难度：较易

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6．
如图所示，正方体\(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)，\(F\)分别是\(AB\)，\(AA_{1}\)的中点\(.\)求证：

\((1)E\)，\(C\)，\(D_{1}\)，\(F\)四点共面；
\((2)CE\)，\(D_{1}F\)，\(DA\)三线共点．

难度：易

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7．
如图所示，在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(N\)、\(E\)、\(F\)、\(M\)分别为\(A_{1}B_{1}\)，\(B_{1}C_{1}\)，\(C_{1}D_{1}\)，\(D_{1}A_{1}\)的中点，求证：
\((1)E\)，\(F\)，\(D\)，\(B\)四点共面；
\((2)\)面\(AMN/\!/\)平面\(EFDB\)．

难度：较易

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8．
如图，在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中\(.\)
\((I)\)求证：\(AC⊥BD_{1}\)；
\((\)Ⅱ\()\)是否存在直线与直线 \(AA_{1}\)，\(CC_{1}\)，\(BD_{1}\)都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线\((\)不必说明画法及理由\()\)；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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