知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 的正方形，AA₁=3，点F在棱B₁B上运动．
（1）若三棱锥B₁-A₁D₁F的体积为 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ 时，求异面直线AD与D₁F所成的角
（2）求异面直线AC与D₁F所成的角．

难度：较易

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2．四面体ABCD及其三视图如图1，2所示．

（1）求四面体ABCD的体积；
（2）若点E为棱BC的中点，求异面直线DE和AB所成角的余弦值．

难度：较易

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3．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，AA₁=2，点M，N分别为A₁B和B₁C₁的中点．
（1）求异面直线MN与A₁C所成角的余弦值；
（2）求三棱锥A₁-MNC的体积．

难度：较易

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4．（2016春•五华区校级期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是正方形，PA=AB，E为PO的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求异面直线AE与PB所成角的大小．

难度：中等

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5．在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M，N是棱A₁B₁ ， B₁B的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．

难度：中等

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6．（文）已知矩形ABB₁A₁是圆柱体的轴截面，O、O₁分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2：1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．
（1）求圆柱体的侧面积S_侧的值；
（2）若C₁是半圆弧A₁B₁的中点，点C在半径OA上，且OC= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ OA，异面直线CC₁与BB₁所成的角为θ，求sinθ的值．

难度：较易

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7．如图所示，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
．
（1）求AC₁的长；
（2）求BD₁与AC所成角的余弦值．

难度：中等

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8．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．
（1）哪些棱所在直线与直线AB₁是异面直线？
（2）求异面直线DB₁与CB所成角的余弦值
（3）求证：C₁O∥平面AB₁D₁．

难度：较难

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9．一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N、P、Q分别是FC、AF、DC、AD的中点）
（1）直线DE与直线BF的位置关系是什么、夹角大小为多少？
（2）判断并证明直线MN与直线PQ的位置关系；
（3）求三棱锥D-ABF的体积．

难度：较易

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10．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）求AC与A₁D所成角的大小；
（2）平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（3）A₁C⊥平面BDC₁．

难度：中等

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