知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（Ⅰ）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）设θ为直线C₁N与平面CNB₁所成的角，求sinθ的值；
（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB₁并求
BP
PC
的值．

难度：中等

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2．（2016•丹东一模）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中点．
（Ⅰ）证明：ED⊥PE；
（Ⅱ）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由．

难度：中等

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3．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（Ⅰ）求证：EF∥BC；
（Ⅱ）求直线DE与平面BCFE所成角的正弦值．

难度：中等

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4．（2016•枣庄一模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AB，点M、N分别是线段A₁C₁，A₁B的中点．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面A₁AB．
（2）设平面MNB₁与平面BCC₁B₁的交线为l，求证：MN∥l．

难度：较易

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5．如图所示，三棱锥D-ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC=CD=1，BC=
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，点O为AB中点．
（Ⅰ）若过点O的平面α与平面ACD平行，分别与棱DB，CB相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置（不要求证明）；
（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=1，DE=5．
（1）求棱锥C-ADE的体积；
（2）求证：平面ACE⊥平面CDE；
（3）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出
EF
ED
的值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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7．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2
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，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四棱锥D-GEFH的体积．

难度：较难

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8．如图，四边形EFGH为四面体A-BCD的一个截面，若截面为平行四边形，
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB⊥CD，求证：四边形EFGH为矩形．

难度：较难

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9．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为DD₁的中点，
（1）求证：BD₁∥平面ACE；
（2）求△ACE的面积．

难度：中等

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10．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B₁-A₁BE的体积；
（2）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥面A₁BE？若存在，试确定点F的位置，并证明你的结论．

难度：中等

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