知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥BB₁C₁C，BC=1，AB=BB₁=2，∠BCC₁=
π
3
．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）P是线段BB₁上的动点，当平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B时，求线段B₁P的长；
（Ⅲ）若E为BB₁的中点，求二面角C₁-AE-A₁平面角的余弦值．

难度：较难

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2．已知如图1正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图2所示．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求三棱锥A-OCD的体积；
（3）求二面角A-BC-D的余弦．

难度：较难

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3．如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，DQ∥AP，AP=AD=2DQ=2，
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PAB与平面PCQ所成锐二面角的余弦值；
（3）若E为PB中点，点F在线段CQ上，当平面AEF⊥平面PAB时，求CF的长．

难度：较难

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4．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E、F分别为PC、PD的中点．
（1）求证：DE⊥平面PBC
（2）在棱BC上确定一点G，使得PA∥面EFG，并写出证明过程
（3）在（2）成立的条件下，求二面角F-EG-C的余弦值．

难度：中等

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5．如图，三棱锥P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2，M为棱PC的中点．
（I）求证：PC⊥平面MAB；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

难度：中等

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