知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•连云港期中）如图所示，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C．
（1）求CE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面BED；
（3）求A₁B与平面BDE夹角的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=
2

（1）求证：AC⊥平面BB₁D₁D
（2）求四棱锥D₁-ABCD的体积．

难度：中等

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3．（2016春•宜昌期中）如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=
2
，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：CO⊥面VAB；
（3）求三棱锥C-VAB的体积．

难度：较易

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4．（2016春•淄博校级期中）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90，点D是棱B₁C₁的中点．
（1）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（2）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C．

难度：中等

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5．（2016春•盐城校级期中）如图，四边形ABCD、ADEF为正方形，G，H是DF，FC的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BC⊥平面CDE．

难度：较易

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6．在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，AB=AD=
2
，AB⊥BC，如图把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD
（1）求证：CD⊥平面ABD；
（2）若M为线段BC中点，求三棱锥M-ACD的体积．

难度：中等

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7．（2015秋•淮南期中）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求点C到平面ABD的距离．

难度：较难

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8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=4，A₁在底面ABC的射影为BC的中点E，D是B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
（2）求点B到平面A₁ACC₁的距离．

难度：中等

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9．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A1′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．

（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比；
（3）试判断直线AQ是否与平面A₁C₁P平行，并说明理由．

难度：中等

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