知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）平面A₁AC⊥面AB₁D₁．

难度：中等

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2．如图四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BCE为等边三角形，△ABE是以∠A为直角的等腰直角三角形，且AC=BC．
（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的余弦值．

难度：中等

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3．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=2．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若二面角B-AB₁-C₁的余弦值为-
5
7
，求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

难度：中等

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4．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AP=AD=2CD=1，AB=2，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若侧棱PB上存在点Q，使得V_P-ACD：V_Q-ABC=1：2，求二面角Q-AC-B的余弦值．

难度：中等

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=AP，CD=2AB，CD⊥平面APD，AB∥CD，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面PBC⊥平面PCD．

难度：中等

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6．（2015秋•忻州校级期末）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形ABC是等边三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，D为棱AB的中点
（1）求证：平面A₁CD⊥平面AA₁B₁B
（2）求证：BC₁∥平面A₁CD
（3）若AB=1，AA₁=
3
，求三棱锥D-A₁B₁C的体积．

难度：中等

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7．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求证：平面C₁CD⊥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求三棱锥D-CAB₁的体积．

难度：较难

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8．如图，在正方形AG₁G₂G₃中，点B，C分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，点E，F分别是G₃C，AC的中点，现在沿AB，BC及AC把这个正方形折成一个四面体，使G₁，G₂，G₃三点重合，重合后记为G．
（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；
（Ⅱ）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，并求证：EF∥平面ABG；
（Ⅲ）求证：平面EFB⊥平面GBC．

难度：中等

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9．如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD的交点，SA⊥平面ABCD
（Ⅰ）求证：平面SAC⊥平面SBD；
（Ⅱ）若∠DAB=120°，DS⊥BS，AB=2，求SO的长及点A到平面SBD的距离．

难度：较难

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10．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别为AB、A₁B₁中点，现已给出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的左视图．
（1）请画出四棱柱EBCD-FB₁C₁D₁的主视图和俯视图；
（2）请在线段BC上找一点M，使得点M和直线EF所确定的平面（设为α）垂直于面EFD₁D，在图中画出α与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁相交所成的截面，说出BM的长度，并给出证明．

难度：中等

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