知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，ACQP所在的平面与菱形ABCD所在的平面相互垂直，交线为AC，若AC=
2
AP，E，F分别是PQ，CQ的中点．求证：
（1）CE∥平面PBD；
（2）平面FBD⊥平面PBD．

难度：中等

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2．（2016•贵州校级模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为
6
3
，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

难度：中等

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3．（2016•益阳模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=2AB=2，且BC₁⊥A₁C．
（Ⅰ）求证：平面ABC₁⊥平面A₁C₁CA；
（Ⅱ）设D是A₁C₁的中点，判断并证明在线段BB₁上是否存在点E，使DE∥平面ABC₁；若存在，求三棱锥E-ABC₁的体积．

难度：中等

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4．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁D-C的余弦值．

难度：中等

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5．如图，边长为
2
的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=
1
2
AB=1，点M在线段EC上．
（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判断点M的位置，使得三棱锥B-CDM的体积为
2
18
．

难度：中等

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6．（2016•黔东南州模拟）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C；
（Ⅱ）若AB=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，且Q为AD的中点．PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=
1
3
PC，若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥M-PQB的体积．

难度：中等

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8．如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC为等边三角形，
（1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；
（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．

难度：中等

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9．如图所示，已知四棱锥P-ABCD是底面边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PB=
2
，PC=2．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-B的正弦值．

难度：中等

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10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E，F分别为棱
AB，PD的中点．
（ I）在现有图形中，找出与AF平行的平面，并给出证明；
（ II）判断平面PCE与平面PCD是否垂直？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

难度：中等

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