知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=
2

（1）求证：AC⊥平面BB₁D₁D
（2）求四棱锥D₁-ABCD的体积．

难度：中等

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2．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点，且AB=2，
（ 1 ）求证：BD₁∥面AEC；
（2）求三棱锥C-ADE的体积．

难度：中等

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3．如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且tanθ=
3
2
；
（1）求证：平面ACD⊥平面ADE
（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求V（x）的表达式及最大值．

难度：中等

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4．（2015秋•北京校级期中）如图，在四棱锥S-ABCD中，所有侧棱长与底面边长均相等，E为SC的中点．求证：
（Ⅰ） SA∥平面BDE；
（Ⅱ） SC⊥BD．

难度：中等

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5．在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE．

难度：较易

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6．（2015秋•北京校级期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD．E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥FD．

难度：中等

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7．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A1′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．

（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比；
（3）试判断直线AQ是否与平面A₁C₁P平行，并说明理由．

难度：中等

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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中点，PD⊥BC，求证：
（Ⅰ）PC∥平面BED；
（Ⅱ）BC⊥PC．

难度：中等

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9．如图，已知E、F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁和棱CC₁上的中点，求证：四边形EBFD₁是菱形．

难度：中等

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10．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A=70°，则∠B= ．

难度：较易

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