知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知圆C：x²+y²=1在矩阵A=
a，0
0，b
（a＞0，b＞0）对应的变换下变为椭圆x²+
y2
4
=1，求a，b的值．

难度：较易

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2．已知a，b∈R，且ab≠2，若矩阵M=
1 a
b 2
所对应的变换T把直线l：x-y=3变换为自身．
（1）求实数a，b的取值；
（2）若向量
β
=
-1
-2
，求M¹⁰
β
．

难度：中等

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3．已知矩阵M=
1
2
0
0 2
，试求：
（Ⅰ）矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）直线y=2x在矩阵M^-1对应的变换作用下的曲线方程．

难度：较难

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4．在平面直角坐标系xoy中，设曲线C₁在矩阵A=
1 0
0
1
2
对应的变换作用下得到曲线C₂：
x2
4
+y2=1，求曲线C₁的方程．

难度：较难

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5．已知线性变换T把点（1，-1）变成了点（1，0），把点（1，1）变成了点（0，1）
（Ⅰ）求变换T所对应的矩阵M；
（Ⅱ）求直线y=-1在变换T的作用下所得到像的方程．

难度：较难

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6．已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1，λ₂=2，其对应的一个特征向量分别为e₁=
1
1
，e₂=
1
0
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求圆C：x²+y²=1在矩阵A所对应的线性变换作用下得到曲线C'的方程．

难度：较难

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7．已知线性变化T把点（1，-1）变成了（1，0），把点（1，1）变成了点（0，1）．
（1）求变换T所对应的矩阵M；
（2）求直线y=-1在变换T的作用下得到直线方程．

难度：较难

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8．已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°．
（1）求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）已知矩阵M=
3 3
2 4
，求M的特征值和特征向量；
（3）若α=
1
8
在矩阵B的作用下变换为β，求M⁵⁰β（运算结果用指数式表示）．

难度：中等

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9．已知矩阵A=
1 3
2 4
，向量
α
=
1
2
，求矩阵A的逆矩阵，及使得A
β
=
α
成立的向量
β
．

难度：较难

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10．已知矩阵A=
3 3
c d
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
．
（1）求矩阵A；
（2）求出直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．

难度：较易

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