知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知$a= \begin{bmatrix} \overset{1}{1}\end{bmatrix}$为矩阵$A= \begin{bmatrix} 1 & a \\ -1 & 2\end{bmatrix}$属于实数$λ$的一个特征向量，求$λ$和$A^{2}$．

难度：易

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2．
已知矩阵$A= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$，$B= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 5\end{bmatrix}$，列向量$X= \begin{bmatrix} \overset{a}{b}\end{bmatrix}$．
$(1)$求矩阵$AB$；
$(2)$若$B^{-1}A^{-1}X= \begin{bmatrix} \overset{5}{1}\end{bmatrix}$，求$a$，$b$的值．

难度：较易

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3．
已知$x∈R$，向量$ \begin{bmatrix} \overset{0}{1}\end{bmatrix}$是矩阵$A= \begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & 2\end{bmatrix}$的属于特征值$λ$的一个特征向量，求$λ$与$A^{-1}$．

难度：较易

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4．已知
k
0
是矩阵A=
1   0
m  2
的一个特征向量．
（Ⅰ）求m的值和向量
k
0
相应的特征值；
（Ⅱ）若矩阵B=
3  2
2  1
，求矩阵B^-1A．

难度：较难

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5．已知矩阵M=
2 a
2 b
的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4，
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为x-2y-3=0，求直线l的方程．

难度：较难

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6．已知二阶矩阵M=
a 1
3 d
有特征值λ=-1及对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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7．已知二阶矩阵M= $%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Da%20%26%201%20%5C%5C%203%20%26%20d%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bpmatrix%7D$ 有特征值λ=-1及对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%5C%5C%20-3%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

难度：中等

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8．已知矩阵M有特征值λ₁=8及对应特征向量α₁= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%5C%5C%201%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，且矩阵M对应的变换将点（1，-1）变换成（4，0），求矩阵M的另一个特征值．

难度：较易

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9．已知矩阵M= $%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D2%C2%A0%C2%A0a%20%5C%5C%202%C2%A0%C2%A0b%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bpmatrix%7D$ 的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4，
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为x-2y-3=0，求直线l的方程．

难度：中等

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10．已知矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Da%20%26%202%20%5C%5C%201%20%26%20b%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bpmatrix%7D$ 有一个属于特征值1的特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B1%7D%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D2%20%5C%5C%20-1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若矩阵B= $%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%26%20-1%20%5C%5C%200%20%26%201%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，求直线x+y+1=0先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程．

难度：中等

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