知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵 $A%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%20-1%20%5C%5C%20a%20%26%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，-3），
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及特征向量．

难度：中等

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2．关于x的不等式| $%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2Ba%20%26%202%20%5C%5C%201%20%26%20x%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bvmatrix%7D%20$ ＜0的解集为（-1，b）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若z₁=a+bi，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂为纯虚数，求tanα的值．

难度：较易

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3．已知二阶矩阵M=
2 1
a b
（a，b∈R），若矩阵M属于特征值-1的一个特征向量
α1
=
-1
3
，属于特征值3的一个特征向量
α2
=
1
1
．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若向量
β
=
-3
5
，计算M⁵
β
的值．

难度：中等

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4．用行列式解关于x、y的方程组：
ax+y=a+1
x+ay=2a
（a∈R），并对解的情况进行讨论．

难度：中等

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5．
（本小题满分10分）已知向量,,且，A为锐角．
（1）求角的大小；
（2）求函数的值域．

难度：易

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6．已知函数f（x）=
.
2cos(x-
π
2
) sin2x
2 cos(x+
π
6
)
.
，（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及判断函数f（x）的奇偶性；
（2）在△ABC中，f（A）=0，|
AC
|=m，m∈[2，4]．若对任意实数t恒有|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|，求△ABC面积的最大值．

难度：中等

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7．利用行列式性质计算：
.
3 2 6
8 10 9
6 -2 21
.
．

难度：较易

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8．已知矩阵A=[
.
a 1
0 b
.
]把点（1，1）变换成点（2，2），求a、b的值求曲线C：x²+y²=1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程．

难度：中等

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9．已知
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
，则在什么情况下方程组无解、唯一解、无数解？

难度：较易

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10．已知
x+3
2y
-2
3+y
x-3
=
0
0
，求x+y的值．

难度：较易

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