知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．

已知直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=1+t, \\ & y=\sqrt{3}+\sqrt{3}t \end{cases}(t\)为参数\().\)在以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ^{2}-4ρ\cos θ-2\sqrt{3}ρ\sin θ+4=0\)．

\((1)\)求直线\(l\)的普通方程和曲线\(C\)的直角坐标方程；

\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(｜OA｜·｜OB｜\)．

难度：较易

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3．在极坐标系中，点\(A\)的极坐标是\((1,π)\)，点\(P\)是曲线\(C\)：\(ρ=2\sin θ\)上的动点，则\(|PA|\)的最小值是( )

A．\(0\)

B．\( \sqrt{2}\)

C．\( \sqrt{2}\)\(+1\)

D．\( \sqrt{2}\)\(-1\)

难度：较易

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4．

在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2+2\cos \theta \\ & y=2\sin \theta \end{cases}\)，\((\theta \)为参数\()\)，\(M\)为曲线\({{C}_{1}}\)上的动点，动点\(P\)满足\(\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OM}(a > 0\)且\(a\ne 1)\)，\(P\)点的轨迹为曲线\({{C}_{2}}\)．

\((1)\)求曲线\({{C}_{2}}\)的方程，并说明\({{C}_{2}}\)是什么曲线；

\((2)\)在以坐标原点为极点，以\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，\(A\)点的极坐标为\((2,\dfrac{\pi }{3})\)，射线\(\theta =\alpha \)与\({{C}_{2}}\)的异于极点的交点为\(B\)，已知\(\Delta AOB\)面积的最大值为\(4+2\sqrt{3}\)，求\(a\)的值．

难度：较难

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5．在极坐标系中，点\(\left( \left. 2, \dfrac{π}{3} \right. \right)\)到圆\(ρ=2\cos θ\)的圆心的距离为\((\)　　\()\)

A．\(2\)

B．\( \sqrt{4+ \dfrac{π^{2}}{9}}\)

C．\( \sqrt{1+ \dfrac{π^{2}}{9}}\)

D．\( \sqrt{3}\)

难度：中等

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6．
\([\)选修\(4-4\)：坐标系与参数方程\(]\)

已知直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=t\cos \varphi \\ & y=-2+t\sin \varphi \end{cases}(t\)为参数，\(0\leqslant φ < π)\)，以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ=1\)，\(l\)与\(C\)交于不同的两点\(P_{1}\)，\(P_{2}\)

\((\)Ⅰ\()\)求\(φ\)的取值范围；

\((\)Ⅱ\()\)以\(φ\)为参数\(.\)求线段\(P_{1}P_{2}\)中点\(M\)的轨迹的参数方程．

难度：较难

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7．在直角坐标系\(xOy\)内，直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} x=2+2t \\ y=1+4t\end{cases}(t\)为参数\().\)以\(Ox\)为极轴建立极坐标系，圆\(C\)的极坐标方程为\(ρ=2 \sqrt {2}\sin (θ+ \dfrac {π}{4}).\)判断直线\(l\)和圆\(C\)的位置关系．

难度：较易

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8．
平面直角坐标系中，直线\(l\)的参数方程是\(\begin{cases}x=t \\ y= \sqrt{3}t\end{cases} \)\((t\)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ\)\({\,\!}^{2}\)\(\cos \)\({\,\!}^{2}\)\(θ+ρ\)\({\,\!}^{2}\)\(\sin \)\({\,\!}^{2}\)\(θ-2ρ\sin θ-3=0\)．
\((\)Ⅰ\()\)求直线\(l\)的极坐标方程；
\((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，求\(|AB|.\)

已知函数\(f(x)=|x-1|-2|x+1|\)的最大值为\(k.\)

\((\)Ⅰ\()\)求\(k\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)若\(a\)，\(b\)，\(c∈R\)，\( \dfrac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}+{b}^{2}=k \)，求\(b(a+c)\)的最大值．

难度：中等

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9．在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} x=t\cos \dfrac {8π}{3} \\ y=-4+t\sin \dfrac {8π}{3}\end{cases}(t\)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为：\(ρ^{2}-3ρ-4=0(ρ\geqslant 0)\)．
\((1)\)写出直线\(l\)的普通方程与曲线\(C\)的直角坐标系方程；
\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，求\(∠AOB\)的值．

难度：较易

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10．
以直角坐标系的原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位\(.\) 在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=\sqrt{2}\cos \varphi \\ & y=\sin \varphi \end{cases}\)，\((\)其中\(\varphi \)为参数\()\)，曲线\({{C}_{2}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=0\)，以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线\(l:\theta =\alpha \left( \rho \geqslant 0 \right)\)与曲线\({{C}_{1}},{{C}_{2}}\)分别交于点\(A,B\)\((\)均异于原点\(O\)\()\)
\((\)Ⅰ\()\)求曲线\({{C}_{1}},{{C}_{2}}\)的极坐标方程；
\((\)Ⅱ\()\)当\(0 < a < \dfrac{\pi }{2}\)时，求\({{\left| OA \right|}^{2}}+{{\left| OB \right|}^{2}}\)的取值范围．

难度：较难

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