知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为
x=1+t
y=t-3
（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=
2cosθ
sin2θ
．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求弦AB的长．

难度：中等

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2．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：
x=
2
cosθ
y=
2
sinθ
（θ为参数）上的点到直线l：ρcos（θ-
π
4
）=
2
k的距离为d．
①当k=3时，求d的最大值；
②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．

难度：中等

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3．在平面直角坐标系xoy中，已知直线C₁：
x=t+1
y=7-2t
（t为参数）与椭圆C₂：
x=acosθ
y=3sinθ
（θ为参数，a＞0）的一条准线的交点位于y轴上，求实数a的值．

难度：中等

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4．已知曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=1+2sinα
（α为参数），直线l的参数方程为
x=1+tcos45°
y=tsin45°
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l截曲线C所得的弦长．

难度：中等

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5．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为
x=2+tcosα
y=1+tsinα
(t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且|PA|•|PB|=
28
3
，求tanα的值．

难度：较易

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6．在平面直角坐标系xOy中，已知三圆C₁：x²+y²=4，C₂：（x+
3
）²+（y-1）²=4，C₃：
x=
3
+2cosθ
y=1+2sinθ
（θ为参数）有一公共点P（0，2）．
（Ⅰ）分别求C₁与C₂，C₁与C₃异于点P的公共点M、N的直角坐标；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过三点O、M、N的圆C的极坐标方程．

难度：中等

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7．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=
6cosθ
sin2θ
．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l的参数方程为
x=
3
2
+t
y=
3
t
（t为参数）当直线l与曲线C相交于A，B两点，求|
AB
|

难度：较易

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8．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：
x=1+cosφ
y=sinφ
（φ为参数，0＜φ＜π），曲线C₂与曲线C₁关于原点对称，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₃的极坐标方程为ρ=2（0＜θ＜π），过极点O的直线l分别与曲线C₁，C₂，C₃相交于点A，B，C．
（Ⅰ）求曲线C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）求|AC|•|BC|的取值范围．

难度：中等

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9．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
x=2+2cosθ
y=2sinθ
（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+
π
4
）=2
2
．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|．

难度：中等

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10．已知圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求圆C的直角坐标方程和圆心和圆心C的极坐标；
（2）若斜率为2，且过点P（0，a）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=3，求实数a的值．

难度：较易

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