知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知曲线C的参数方程为 $%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Coverset%7Bx%5Ctext%7B%3D%7D2t%7D%7By%5Ctext%7B%3D%7Dt%5E%7B2%7D%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright.$ ，（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线l₁、l₂相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l₁的倾斜角为锐角α．
（1）求曲线C和射线l₂的极坐标方程；
（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时α的值．

难度：较易

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2．
直线 $ \begin{cases} \overset{x=2t}{y=t}\end{cases}(t$为参数$)$与曲线$ \begin{cases} \overset{x=2+\cos \theta }{y=\sin \theta }\end{cases}(θ$为参数$)$的公共点个数为 ______ ．

难度：较易

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3．
在平面直角坐标系$xOy$中，圆$C_{1}$的参数方程为$ \begin{cases} \overset{x=-1+a\cos \theta }{y=-1+a\sin \theta }\end{cases}(θ$为参数，$a$是大于$0$的常数$).$以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆$C_{2}$的极坐标方程为$ρ=2 \sqrt {2}\cos (θ- \dfrac {π}{4})$．
$(1)$求圆$C_{1}$的极坐标方程和圆$C_{2}$的直角坐标方程；
$(2)$分别记直线$l$：$θ= \dfrac {π}{12}$，$ρ∈R$与圆$C_{1}$、圆$C_{2}$的异于原点的焦点为$A$，$B$，若圆$C_{1}$与圆$C_{2}$外切，试求实数$a$的值及线段$AB$的长．

难度：较易

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4．
选修$4—4$：坐标系与参数方程

已知直线$l$的极坐标方程是$\rho \sin (\theta -\dfrac{\pi }{3})=0$，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为$x$轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线$C$的参数方程是$\begin{cases} & x=2\cos \alpha , \\ & y=2+2\sin \alpha , \\ \end{cases}(α$为参数$)$．

$($Ⅰ$)$求直线$l$被曲线$C$截得的弦长；

$($Ⅱ$)$从极点作曲线$C$的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．

难度：难

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5．

选修$4-4$：坐标系与参数方程已知曲线$C_{1}$的极坐标为$ρ=1$，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为$x$的正半轴，建立平面直角坐标系$xOy$．

$($Ⅰ$)$若曲线$C_{2}$：$\begin{cases} & x=1+t, \\ & y=2+t \end{cases}(t$为参数$)$与曲线$C_{1}$相交于两点$A$，$B$，求$|AB|$；

$($Ⅱ$)$若$M$是曲线$C_{1}$上的动点，且点$M$的直角坐标为$(x,y)$，求$(x+1)(y+1)$的最大值．

难度：难

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6．

选修$4—4$：坐标系与参数方程

已知曲线$C_{1}$的极坐标为$ρ=1$，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为$x$的正半轴，建立平面直角坐标系$xOy$．

$($Ⅰ$)$若曲线$C_{2}$：$\begin{cases} & x=1+t \\ & y=2+t \end{cases}(t$为参数$)$与曲线$C_{1}$相交于两点$A$，$B$，求$|AB|$；

$($Ⅱ$)$若$M$是曲线$C_{1}$上的动点，且点$M$的直角坐标为$(x,y)$，求$(x+1)(y+1)$的最大值．

难度：难

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7．
选修$4—4$：坐标系与参数方程

在直角坐标系$xOy$中，曲线$C$的参数方程为$\begin{cases} & x=3\cos \alpha \\ & y=\sin \alpha \end{cases}$，$($其中$α$为参数$)$，以坐标原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线$l$的极坐标方程为$\rho \sin (\theta -\dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4})=\sqrt{2}$．

$($Ⅰ$)$求$C$的普通方程和直线$l$的倾斜角；

$($Ⅱ$)$设点$P(0,2)$，$l$和$C$交于$A$，$B$两点，求$|PA|+|PB|$．

难度：中等

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