知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知实数a，b，c均大于0．
（1）求证：
ab
+
bc
+
ca
≤a+b+c；
（2）若a+b+c=1，求证：
2ab
a+b
+
2bc
b+c
+
2ac
a+c
≤1．

难度：中等

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2．证明：不等式
m+1
-
m
＜
m-1
-
m-2
（m≥2）

难度：中等

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3．设函数f（x）=|2x-a|．
（1）当a=3时，解不等式，f（x）＜|x-2|．
（2）若f（x）≤1的解集为[0，1]，
1
m
+
1
2n
=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）（n∈N^*）．

难度：较难

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5．（1）设z=a+bi（a，b∈R），求证：
z-1
z+1
为实数的充要条件是b=0．
（2）证明：当a＞1时，
a+1
+
a-1
＜2
a
．

难度：中等

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6．设n是不小于2的正整数，求证：
4
7
＜1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
＜
2
2
．

难度：中等

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7．已知a，b，c＞0，求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
a+b
+
1
b+c
+
1
c+a
．

难度：较难

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8．（1）已知a＞b＞0，求证：
a
-
b
＜
a-b
；
（2）已知函数f（x）=e^x+
x-2
x+1
，用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

难度：中等

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9．已知实数a，b满足ab＞0，a²b=2，m=ab+a²．
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若m的最小值为t，正实数x，y，z满足x²+y²+z²=
t
3
，求证：|x+2y+2z|≤3．

难度：中等

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10．求证：
（1）当a＞1时，
a+1
+
a-1
＜2
a
；
（2）1，
2
，3不可能是一个等差数列中的三项．

难度：中等

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