知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（Ⅰ）求证：当a＞2时，
a+2
+
a-2
＜2
a
；
（Ⅱ）证明：2，
3
，5不可能是同一个等差数列中的三项．

难度：中等

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2．（1）求证：已知：a＞0，求证：
a+5
-
a+3
＞
a+6
-
a+4

（2）已知a，b，c均为实数且a=x²+2y+
π
2
，b=y²-2z+
π
3
，c=z²-2x+
π
6
，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

难度：中等

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3．已知a，b，c均为实数，且a=x²﹣2y+ $\text{[math]}$ ，b=y²﹣2z+ $\text{[math]}$ ，c=z²﹣2x+ $\text{[math]}$ ，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

难度：中等

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4．已知：a，b，c∈（﹣∞，0），求证：a+ $\text{[math]}$ ，b+ $\text{[math]}$ ，c+ $\text{[math]}$ 中至少有一个不大于﹣2．

难度：中等

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5．己知下列三个方程x²+4ax﹣4a+3=0，x²+（a﹣1）x+a²=0，x²+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．已知x∈R，a=x²﹣1，b=2x+2．求证a，b中至少有一个不小于0．

难度：中等

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7．用分析法证明：当x≥4时， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．

难度：中等

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8．（Ⅰ）求证：当a＞2时， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜2 $\text{[math]}$ ；（Ⅱ）证明：2， $\text{[math]}$ ，5不可能是同一个等差数列中的三项．

难度：中等

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9．（1）设a，b，c均为正数，求证：a+
1
b
，b+
1
c
，c+
1
a
中至少有一个不小于2；
（2）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0（其中f′（x）是f（x）导函数）．已知g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）n∈N^*．
（1）求g₁（x），g₂（x）；
（2）猜想g_n（x）表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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10．已知定义在R上的函数f（x）=x²+bx+c（a∈R，c∈R），定义：f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））．n≥2，n∈N^*
（1）若b=c=1，当n=1，2时比较f_n（x）与x的大小关系．
（2）若对任意的x∈R，都有使得f₂₀₁₂（x）＞x，用反证法证明：4c＞（b-1）²．

难度：较难

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