知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4．
（1）求a+b+c的值；
（2）求
1
4
a²+
1
9
b²+c²的最小值．

难度：较难

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2．已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：
1
a-b
+
4
b-c
+
9
c-d
≥
36
a-d
．

难度：较难

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3．（Ⅰ）在极坐标系内，已知曲线C₁的方程为ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程为
5x=1-4t
5y=18+3t
（t为参数）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程以及曲线C₂的普通方程；
（2）设点P为曲线C₂上的动点，过点P作曲线C₁的切线，求这条切线长的最小值．
（Ⅱ）已知f（x）=m-|x-2|，且不等式f（x+2）≥0解集为[-1，1]．
（1）求正实数m的大小；
（2）已知a，b，c∈R，且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m，求a+2b+3c的最小值．

难度：较难

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4．已知a，b，c均为正数
（1）证明：a²+b²+c²+（
1
a
+
1
b
+
1
c
）²≥6
3
，并确定a，b，c如何取值时等号成立；
（2）若a+b+c=1，求
3a+1
+
3b+1
+
3c+1
的最大值．

难度：较难

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5．观察下列两个结论：
（Ⅰ）若a，b∈R⁺，且a+b=1，则
1
a
+
1
b
≥4；
（Ⅱ）若a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，则
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9；先证明结论（Ⅱ），再类比（Ⅰ）（Ⅱ）结论，请你写出一个关于n个正数a₁，a₂，a₃，…，a_n的结论？（写出结论，不必证明．）

难度：较难

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6．已知x、y、z均为正实数，且x+y+z=1．求证：
x2
y+z
+
y2
x+z
+
z2
x+y
≥
1
2
．

难度：较难

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7．设a，b，c均为正数，且a+2b+3c=2，求
1
a
+
2
b
+
3
c
的最小值．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=|x|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）＞2；
（Ⅱ）若[f（x）]²+y²+z²=9，试求x+2y+2z的最小值．

难度：较难

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9．已知x，y，z∈R₊，且x+y+z=1．
（1）若
x+1
+
y+1
+
z+1
=2
3
，求x，y，z的值．
（2）求证：
x
1+x
+
y
1+y
+
z
1+z
≤
3
4
．

难度：中等

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10．已知a₁，a₂，…，a_n∈R⁺，且a₁²+a₂²+…+a_n²=1（n∈N^*）．
（1）求证：a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n+a_na₁≤1；
（2）求证：a₁+a₂+…+a_n≤
n+1
2
．

难度：中等

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