知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=- \dfrac {2}{3}\)，其前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n}=- \dfrac {1}{S_{n-1}+2}(n\geqslant 2)\)，
\((1)\)计算\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)，\(S_{4}\)；
\((2)\)猜想\(S_{n}\)的表达式并用数学归纳法证明．

难度：较易

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2．
若\(a_{1} > 0\)，\(a_{1}\neq 1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {2a_{n}}{1+a_{n}}(n=1,2,…)\)．
\((1)\)求证：\(a_{n+1}\neq a_{n}\)；
\((2)\)令\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，写出\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)的值，观察并归纳出这个数列的通项公式\(a_{n}\)，并用数学归纳法证明．

难度：较易

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3．
设\(a > 0\)，\(f(x)= \dfrac {2x}{2+x}\)，令\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=f(a_{n})\)，\(n∈N^{*}\)．
\((1)\)写出\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的值，并猜出数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)用数学归纳法证明你的结论．

难度：较易

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4．
数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n} > 0(n∈N^{*})\)，\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)前\(n\)项和，并且满足\(S_{n}= \dfrac {1}{2}(a_{n}+ \dfrac {1}{a_{n}}).\)求
\((1)S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)的值；
\((2)\)猜想\(S_{n}\)的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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5．
已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}-a_{n}=1\)，\(a_{1}=1\)，试比较\( \dfrac {1}{a_{1}}+ \dfrac {1}{a_{2}}+ \dfrac {1}{a_{3}}+…+ \dfrac {1}{a_{2^{n}}}\)与\( \dfrac {n+2}{2}(n∈N^{*})\)的大小并证明．

难度：较易

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6．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(a_{1}=1,S_{n}=n^{2}a_{n}(n∈N_{+})\)
\((1)\)试求出\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)，\(S_{4}\)，并猜想\(S_{n}\)的表达式；
\((2)\)证明你的猜想，并求出\(a_{n}\)的表达式．

难度：较易

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7．
对于任意正整数\(n\)，猜想\(2n-1\)与\((n+1)^{2}\)的大小关系，并给出证明．

难度：易

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8．
用数学归纳法证明：\( \dfrac {1}{1\times 3}+ \dfrac {1}{3\times 5}+…+ \dfrac {1}{(2n-1)(2n+1)}= \dfrac {n}{2n+1}\)，\(n∈N^{*}\)．

难度：较难

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9．
设数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=2,a_{n+1}= a_{ n }^{ 2 }-na_{n}+1,n∈N^{*}\)．
\((1)\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)；
\((2)\)由\((1)\)猜想\(a_{n}\)的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较易

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10．
在各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)中，数列的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，满足\(S_{n}=1-na_{n}(n∈N^{*})\)
\((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)的值；
\((2)\)由\((1)\)猜想出数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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