用数学归纳法证明\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+⋯+ \dfrac{1}{{2}^{n}-1} < n\left(n∈{N}^{*}且n > 1\right) \)，第一步即证不等式________________________成立．

若命题\(P(k)\)是\( \dfrac{1+{a}^{2}+{a}^{4}+⋯+{a}^{2k}}{a+{a}^{3}+⋯+{a}^{2k-1}} > \dfrac{k+1}{k}\left(a > 0,a\neq 1,k∈{N}^{*}\right) \)，则命题\(P(k+1)\)是________．

\((1)\) 已知\(x\)，\(y\)的取值如表所示：

从散点图可以看出，\(y\)与\(x\)线性相关，若回归方程为\( \overset{\}{y} =1.46x+a\)，则实数\(a=\)______．

\((2)\)如果\(f\left(n\right)=1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+…+ \dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n+1}…+ \dfrac{1}{{2}^{n}} (n∈N^{*})\)，那么\(f(k+1)-f(k)\)共有______项．

\((4)\)通过观察所给两等式的规律，\(①\sin ^{2}30^{\circ}+\sin ^{2}90^{\circ}+\sin ^{2}150^{\circ}= \dfrac{3}{2} \)；\(②\sin ^{2}5^{\circ}+\sin ^{2}65^{\circ}+\sin ^{2}125^{\circ}= \dfrac{3}{2} \)，请你写出一个\((\)包含上面两命题\()\)一般性的命题：______ ．

\((1)\)用数学归纳法证明\(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots \dfrac{1}{{{2}^{n}}-1} < n.(n\in {{N}^{*}},n > 1)\)时，第一步应验证的不等式是_______．

\((2)\)已知\(i\)是虚数单位，计算\(\dfrac{(3-4i){{(1+i)}^{3}}}{4+3i}\)的结果为                      ．

\((3)\)若函数\(f\left( x \right)\)在定义域\(D\)内某区间\(I\)上是增函数，且\(\dfrac{f(x)}{x}\)在\(I\)上是减函数，则称\(y=f(x)\)在\(I\)上是“弱增函数”\(.\)已知函数\(h(x)={{x}^{2}}-(b-1)x+b\)在\((0,1]\)上是“弱增函数”，则实数\(b\)的值为_____________

\((4)\)已知函数\(f(x)\)的定义域为\([-1,5]\)，部分对应值如表，\(f(x)\)的导函数\(y=f{{'}}(x)\)的图象如图所示，

下列关于\(f(x)\)的命题：

\(①\)函数\(y=f(x)\)是周期函数；\(②\)函数\(y=f(x)\)在\([0,2]\)上减函数；

\(③\)如果当\(x∈[-1,t]\)时，\(f(x)\)的最大值是\(2\)，那么\(t\)的最大值是\(4\)；

\(④\)当\(1 < a < 2\)时，函数\(y=f(x)-a\)有\(4\)个零点；

\(⑤\)函数\(y=f(x)-a\)的零点个数可能为\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)．

其中正确命题的序号是__________________\((\)写出所有正确命题的序号\()\)．

用数学归纳法证明\(1+2+3+…+n^{2}= \dfrac{n^{4}+n^{2}}{2}\)时，当\(n=k+1\)时左端在\(n=k\)时的左端加上________．

用数学归纳法证明\(\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋯\left(n+n\right)={2}^{n}·1·3·⋯·\left(2n-1\right) \)，从\(k\)到\(k+1\)，左边需要增乘的代数式为_____________

设\(f\left(k\right)= \dfrac{1}{k+1}+ \dfrac{1}{k+2}+ \dfrac{1}{k+3}+…+ \dfrac{1}{2k}\left(k∈{N}^{*}\right) \)，那么\(f\left(k+1\right)-f\left(k\right)= \)______．

\((1)\) 某物体其运动方程为\(s{=}2t^{3}\)，则物体在第\(t{=}3\)秒时的瞬时速度是______ ．

\((2)\)    函数\(f(x)\)的图象在\(x{=}2\)处的切线方程为\(2x{+}y{-}3{=}0\)，则

\((3)\)    如果\(f(n){=}1{+}\dfrac{1}{2}{+}\dfrac{1}{3}{+…+}\dfrac{1}{n}{+}\dfrac{1}{n{+}1}{…+}\dfrac{1}{2^{n}}(n{∈}N^{{*}})\)，那么\(f(k{+}1){-}f(k)\)共有______项\({.}\)

\((4)\)    若直线\(y{=}{kx}{+}b\)是曲线\(y{=}\ln x{+}1\)的切线，也是曲线\(y{=}\ln(x{+}2)\)的切线，则\(b{=}\) ______