知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=
1
2
an•(4-an)，n∈N．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

难度：较难

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2．是否存在常数a、b、c使等式1•（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立？证明你的结论．

难度：中等

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3．已知正项数列{a_n}中，a1=1，an+1=1+
an
1+an
(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

难度：难

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4．用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1（n∈N⁺）个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为a_n．
（1）试用数学归纳法证明：an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*，n≥1)；
（2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1（n∈N^*，n≥2）个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：
2
9
≤P≤
1
3
．

难度：较难

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5．在数列{a_n中，a₁=a（a＞2）且an+1=
an2
2(an-1)
(n∈N*)
（1）求证a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求证a_n+1＜a_n（n∈N^*）；
（3）若存在k∈N^*，使得a_k≥3，求证：k＜
ln
3
a
ln
3
4
+1．

难度：较难

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6．已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

难度：较难

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7．试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小．
当n=1时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nⁿ⁺¹    （n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．

难度：中等

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