知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．是否存在等差数列{b_n}，使得数列{a_n}与{b_n}满足a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_nC_nⁿ对一切正整数n成立？证明你的结论．

难度：较难

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2．用数学归纳法证明等式：n∈N，n≥1，1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
．

难度：中等

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3．求证：（1+x）ⁿ+（1-x）ⁿ＜2ⁿ，其中|x|＜1，n≥2，n∈N．

难度：较难

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4．用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有
1
12
+
1
22
+
1
32
…
1
n2
＜2-
1
n
成立．

难度：中等

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5．设a＞2，给定数列{a_n}，a₁=a，a_n+1=
an2
2(an-1)
（n∈N⁺）．求证：a_n＞2，且a_n+1＜a_n（n∈N⁺）．

难度：较难

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6．用数学归纳法证明：
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
n+n
＞
11
24
（n∈N，n≥1）

难度：中等

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7．用数学归纳法证明：1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
≥
3n
2n+1
（n∈N^*）．

难度：中等

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