知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

4．已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a=x₀＜x₁＜…＜x_n-1＜x_n=b，和式
n
i=1
|f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：
n
i=1
a_i=a₁+a₂+…+a_n；
（1）证明函数f（x）=sinx+cosx在[-
π
2
，0]上是“绝对差有界函数”；
（2）记集合A={f（x）|存在常数k＞0，对任意的x₁，x₂∈[a，b]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有届函数”；当[a，b]=[1，2]时，判断g（x）=
x
是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由；
（3）证明函数f（x）=
xcos
π
2x
0＜x≤1
0 x=0
不是[0，1]上的“绝对差有界函数．

难度：较难

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5．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
（1）设f（x）=
x
x+1
，判断f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；
（2）若函数g（x）=1+2^x+a•4^x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．我们称满足下面条件的函数y=f（x）为“ξ函数”：存在一条与函数y=f（x）的图象有两个不同交点（设为P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂））的直线，y=（x）在x=
x1+x2
2
处的切线与此直线平行．下列函数：
①y=
1
x
        ②y=x²（x＞0）③y=
1-x2
       ④y=lnx，
其中为“ξ函数”的是     （将所有你认为正确的序号填在横线上）

难度：中等

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7．已知函数f（x）=
x-2
+
2
4-x
的定义域为；值域为．

难度：中等

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8．下列函数中，值域是（0，+∞）的是（　　）

A．y=（

）^1-x

B．y=x²

C．y=5

2-x

D．y=

1-2x

难度：较易

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9．函数y=
4-cosx
cosx+3
的值域为．

难度：中等

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10．函数f(x)=
1
2x+1
+a为奇函数，则实数a= ；函数f（x）在[1，3]上的值域为．

难度：中等

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