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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且对任意的正整数n，都有Sn+1=λSn+3n+1，其中常数λ＞0．设bn=
              an
              3n
              （n∈N*）﹒
              （1）若λ=3，求数列{bn}的通项公式；
              （2）若λ≠1且λ≠3，设cn=an+
              2
              λ-3
              ×3n              （n∈N*），证明数列{cn}是等比数列；
              （3）若对任意的正整数n，都有bn≤3，求实数λ的取值范围．
              难度：较难
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            • 2． 设数列{an}的所有项都是正数，前n项和为Sn，已知点Pn（an，Sn）（n∈N+）在一次函数y=kx+b的图象上，其中k为大于1的常数．
              （1）求证：数列{an}是等比数列；
              （2）已知a1+a6=66，a2a5=128，求b的值．
              难度：中等
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            • 3． （2016•温州一模）如图，已知曲线C1：y=
              2x
              x+1
              （x＞0）及曲线C2：y=
              1
              3x
              （x＞0），C1上的点P1的横坐标为a1（0＜a1＜
              1
              2
              ）．从C1上的点Pn（n∈N+）作直线平行于x轴，交曲线C2于点Qn，再从点Qn作直线平行于y轴，交曲线C1于点Pn+1．点Pn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{an}
              （Ⅰ）试求an+1与an之间的关系，并证明：a2n-1＜
              1
              2
              ＜a2n(n∈N+)              ；
              （Ⅱ）若a1=
              1
              3
              ，求证：|a2-a1|+|a3-a2|+…+|an+1-an|＜
              4
              3
              (n∈N+)              ．
              难度：较难
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            • 4． 已知数列{an}是公比为2的等比数列，数列{bn}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，则数列{a bn}是（　　）
              A．公差为5的等差数列
              B．公差为6的等差数列
              C．公比为6的等比数列
              D．公比为8的等比数列
              难度：中等
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            • 5． 已知数列{an}满足a1=
              3
              2
              ，且an+1=3an-1，bn=an-
              1
              2
              ．
              （1）求证：数列{bn}是等比数列．
              （2）若不等式
              bn+1
              bn+1-1
              ≤m对∀n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．
              难度：中等
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            • 6． 已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）=xα，α∈{-1，
              1
              2
              ，2，3}，并记M={-1，
              1
              2
              ，2，3}．下列说法正确的是（　　）
              A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列
              B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列
              C．当α=2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）-λ依次成等差数列
              D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列
              难度：较易
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            • 7． 下列命题中假命题是（　　）
              A．数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和是Sn=an2+bn，a，b∈R
              B．数列{an}是公比为q的等比数列且其前n项和是Sn=kqn+t(q≠0且q≠1)，则k+t=0
              C．等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等差数列
              D．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等比数列
              难度：中等
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            • 8． 已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(
              1
              2
              )n-1+2              ，bn=2nan，cn=2an+1-an（n∈N*）则（　　）
              A．{bn}是等差数列，{cn}是等比数列
              B．{bn}是等比数列，{cn}是等差数列
              C．{bn}是等差数列，{cn}是等差数列
              D．{bn}是等比数列，{cn}是等比数列
              难度：较难
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            • 9． 设数列{an}是公差为d的等差数列．
              （Ⅰ）推导{an}的前n项和Sn公式；
              （Ⅱ）证明数列{
              Sn
              n
              }              是等差数列．
              难度：中等
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            • 10． 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{
              Sn
              n
              }是首项为0，公差为
              1
              2
              的等差数列．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设bn=
              4
              15
              •（-2） an（n∈N*），对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为dk，求证：数列{dk}为等比数列．
              难度：中等
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