知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点P的轨迹方程为（x+1）²+（y-2）²=1，直线l与点P的轨迹相切，且l在x轴． y轴上的截距相等，
（1）若截距均为0，是否存在这样的直线，若存在，求直线l的方程．
（2）若截距不为0，是否存在这样的直线，若存在，求直线l的方程．

难度：中等

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2．已知圆O：x²+y²=1与圆C：x²+y²-6x-8y+m=0相切于M点，求以M为圆心，且与圆C的半径相等的圆的标准方程．

难度：中等

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3．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线l：3x-4y+1=0被圆M截得的弦长为2
3
，且圆心M在直线l的上方．
（1）求圆M的方程；
（2）设A（0，t），B（0，t+6）（-4≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值及对应的t值．

难度：较难

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4．已知椭圆
x2
a2
+
y2
4
=1上一点到椭圆两焦点的距离之和为4
2
．
（Ⅰ）求a的值及椭圆的离心率；
（Ⅱ）顺次连结椭圆的顶点得到菱形A₁B₁A₂B₂，求该菱形的内切圆方程；
（Ⅲ）直线l与（Ⅱ）中的圆相切并交椭圆于A，B两点，求|AB|的取值范围．

难度：较难

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5．已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．
（I）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与圆C相交A、B两点．试判断直线AB的斜率是否为定值，并说明理由．

难度：中等

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6．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x-y+2=0，则：
（1）△ABC的外接圆方程为；
（2）顶点C的坐标是．

难度：较易

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7．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为2
3
，圆C的面积小于13．
（1）求圆C的标准方程；
（2）一条光线从点A（4，1）出发，经直线y=x-5反射后与圆C相切，求入射光线所在直线的斜率．

难度：中等

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8．在平面直角坐标系xoy中，己知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=25和圆C₂：（x-4）²+（y-2）²=4．
（1）判断两圆的位置关系：
（2）求过两圆的圆心的直线的方程：
（3）若直线m过圆C₁的圆心，且被圆C₂截得的弦长为2
3
，求直线m的方程．

难度：中等

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9．已知x、y满足x²+y²=3，求
y+1
x+3
及2x+y的范围．

难度：中等

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10．已知圆M经过A（1，-2），B（-1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2．
（1）求圆M的方程；
（2）若P（2，
1
2
）为圆内一点，求过点P被圆M截得弦长最短时的直线l的方程．

难度：中等

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