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          共50条信息

            • 1．
              证明：\( \sqrt {2}\)不是有理数．
              难度：难
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            • 2．
              用反证法证明某命题时，对结论：“自然数\(a\)，\(b\)，\(c\)中恰有一个偶数”正确的反设为\((\)　　\()\)
              A．\(a\)，\(b\)，\(c\)中至少有两个偶数
              B．\(a\)，\(b\)，\(c\)中至少有两个偶数或都是奇数
              C．\(a\)，\(b\)，\(c\)都是奇数
              D．\(a\)，\(b\)，\(c\)都是偶数
              难度：中等
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            • 3．
              \((1)\)当\(x > 1\)时，求证：\(x^{2}+ \dfrac {1}{x^{2}} > x+ \dfrac {1}{x}\)；
              \((2)\)已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}-x+1\)，\(b=4-x\)，\(c=x^{2}-2x.\)试证明\(a\)，\(b\)，\(c\)至少有一个不小于\(1\)．
              难度：较易
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            • 4．

              已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

              \((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

              \((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

              难度：较难
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            • 5．

              证明不等式：\( \dfrac {1}{2}× \dfrac {3}{4}×…× \dfrac {2n-1}{2n} < \dfrac {1}{ \sqrt {2n+1}}(n∈N^{*}).(\)提示：放缩法可以利用\((2n+1)(2n-1) < (2n)^{2}\)即\( \dfrac {2n-1}{2n} < \dfrac {2n}{2n+1})\)
              难度：中等
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            • 6． 用反证法证明命题：“若\(a\)，\(b\)，\(c\)为不全相等的实数，且\(a+b+c=0\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是\((\)　　\()\)
              A．\(a\)，\(b\)，\(c\)都大于\(0\)
              B．\(a\)，\(b\)，\(c\)都是非负数
              C．\(a\)，\(b\)，\(c\)至多两个负数
              D．\(a\)，\(b\)，\(c\)至多一个负数
              难度：中等
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            • 7． 用分析法证明：当\(x\geqslant 4\)时，\( \sqrt {x-3}+ \sqrt {x-2} > \sqrt {x-4}+ \sqrt {x-1}\)．
              难度：中等
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            • 8．

              已知曲线\(f(x)= \dfrac{{\log }_{2}(x+1)}{x+1}(x > 0) \)上有一点列\({P}_{n}({x}_{n},{y}_{n})(n∈{N}_{∗}) \)，过点\({P}_{n} \)在\(x \)轴上的射影是\({Q}_{n}({x}_{n},0) \)，且\({x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+⋯{x}_{n}={2}^{n+1}−n−2. (n∈{N}_{∗}) \)

              \((1)\)求数列\(\{{x}_{n}\} \)的通项公式

              \((2)\)设四边形\({P}_{n}{Q}_{n}{Q}_{n+1}{P}_{n+1} \)的面积是\({S}_{n} \)，求\({S}_{n} \)

              \((3)\)在\((2) \)条件下，求证：\(\dfrac{1}{{S}_{1}}+ \dfrac{1}{2{S}_{2}}+⋯+ \dfrac{1}{n{S}_{n}} < 4. \)

              难度：难
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            • 9．

              若\(x\)，\(y > 0\)且\(x+y > 2\)，则\(\dfrac{1+y}{x} \)和\(\dfrac{1+x}{y} \)的值满足(    )

              A．\(\dfrac{1+y}{x} \)和\(\dfrac{1+x}{y} \)都大于\(2\)                
              B．\(\dfrac{1+y}{x} \)和\(\dfrac{1+x}{y} \)都小于\(2\)
              C．\(\dfrac{1+y}{x} \)和\(\dfrac{1+x}{y} \)中至少有一个小于\(2\)       
              D．以上说法都不对
              难度：较易
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            • 10．
              用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于\(60^{\circ}\)”时，应假设 ______ ．
              难度：较易
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