知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a²+b²+c²+d²+e²=16，试确定e的最大值．

难度：较难

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2．（选修4-5：不等式选讲）
若x∈(-
1
2
，
2
3
)，证明
1+2x
+
3+x
+
2-3x
＜3
2
．

难度：较难

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3．已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a²+4b²+9c²的最小值为．

难度：中等

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4．已知a，b，c∈R，则2a²+3b²+6c²=1是a+b+c∈[-1，1]的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

难度：中等

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5．本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知e1=
1
1
是矩阵M=
a
1
0
b
属于特征值λ₁=2的一个特征向量．
（I）求矩阵M；
（Ⅱ）若a=
2
1
，求M¹⁰a．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为
AB
为参数）．
（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以A（l，0为极点，|
AB
|为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
（I）试证明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（a，b，x，y∈R）；
（Ⅱ）若x²+y²=2，且|x|≠|y|，求
1
(x+y
)
2

+
1
(x-y
)
2

的最小值．

难度：较难

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6．选修4-2：矩阵及其变换
（1）如图，向量
OA
和
OB
被矩阵M作用后分别变成
OA′
和
OB′
，
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）并求y=sin(x+
π
3
)在M作用后的函数解析式；
选修4-4：坐标系与参数方程
（ 2）在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为
x=3-
2
2
t
y=
5
+
2
2
t
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系x0y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（3，
5
），求|PA|+|PB|．
选修4-5：不等式选讲
（3）已知x，y，z为正实数，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．

难度：较难

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7．选修4-5：不等式选讲
已知|x-2y|=5，求证：x²+y²≥5．

难度：较难

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8．（1）选修4-2：矩阵与变换
若二阶矩阵M满足M
1 2
3 4
=
7 10
4 6
．
（Ⅰ）求二阶矩阵M；
（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x²+8xy+6y²=1上，求所得曲线的方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x=2tcosθ
y=2sinθ
（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-
π
4
)=2
2
．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
OA
•
OB
=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求证：
n4
a2
+
p4
b2
+
q4
c2
≥2．

难度：较难

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9．设变量x，y满足|x-2|+|y-2|≤1，则

y-x

x+1

的最大值为（　　）

A．

B．

C．-

D．-

难度：较易

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10．已知x²+y²+z²=1，求xy+yz最大值．

难度：较易

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