知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
设$M⊆N^{+}$，正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项的积为$T_{n}$，且$∀k∈M$，当$n > k$时，$ \sqrt {T_{n+k}T_{n-k}}=T_{n}T_{k}$都成立．
$(1)$若$M=\{1\}$，$a_{1}= \sqrt {3}$，$a_{2}=3 \sqrt {3}$，求数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和；
$(2)$若$M=\{3,4\}$，$a_{1}= \sqrt {2}$，求数列$\{a_{n}\}$的通项公式．

难度：较易

解析收藏试题篮
2．
定义$ \dfrac {n}{p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}}$为$n$个正数$p_{1}$，$p_{2}$，$…$，$p_{n}$的“均倒数”，若已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项的“均倒数”为$ \dfrac {1}{2n+1}$，又$b_{n}= \dfrac {a_{n}+1}{4}$，则$ \dfrac {1}{b_{1}b_{2}}+ \dfrac {1}{b_{2}b_{3}}+…+ \dfrac {1}{b_{2017}b_{2018}}=$ ______ ．

难度：较易

解析收藏试题篮
3．
设$S_{n}$为正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，满足$2S_{n}=a \;_{ n }^{ 2 }+a_{n}-2$．
$(I)$求$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(II)$若不等式$(1+ \dfrac {2}{a_{n}+t})\;^{a_{n}}\geqslant 4$对任意正整数$n$都成立，求实数$t$的取值范围；
$(III)$设$b_{n}=e\;^{ \frac {3}{4}a_{n}\ln (n+1)}($其中$r$是自然对数的底数$)$，求证：$ \dfrac {b_{1}}{b_{3}}+ \dfrac {b_{2}}{b_{4}}+..+ \dfrac {b_{n}}{b_{n+2}} < \dfrac { \sqrt {6}}{6}$．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=k(3^{n}-1)$，且$a_{3}=27$．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$若$b_{n}=\log _{3}a_{n}$，求数列$\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

难度：较易

解析收藏试题篮
5．
正项数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$满足：$S_{n}^{2}-(n^{2}+n-1)S_{n}-(n^{2}+n)=0$
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n}$；
$(2)$令$b\;_{n}= \dfrac {n+1}{(n+2)^{2}a_{n}^{2}}$，数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}.$证明：对于任意$n∈N^{*}$，都有$T\;_{n} < \dfrac {5}{64}$．

难度：较易

解析收藏试题篮
6．
已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n}=2a_{n}-2(n∈2N^{*}).$
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$求数列$\{S_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

难度：较难

解析收藏试题篮
7．
已知数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=-1$，$a_{n+1}=2a_{n}+3n-1(n∈N^{*})$，则其前$n$项和$S_{n}=$ ______ ．

难度：较易

解析收藏试题篮
8．
设数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}=2$，$a_{n+1}=2+S_{n}$，$(n∈N^{*}).$
$(I)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$($Ⅱ$)$设$b_{n}=1+\log _{2}(a_{n})^{2}$，求数列$\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}$的前$n$项和$T_{n} < \dfrac {1}{6}$．

难度：较易

解析收藏试题篮
9．
已知正项数列$\{a_{n}\}$满足：$4S_{n}= a_{ n }^{ 2 }+2a_{n}-3$，其中$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$设$b_{n}= \dfrac {1}{ a_{ n }^{ 2 }-1}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

难度：难

解析收藏试题篮
10．设数列{a_n}是等比数列， $a_%7B1%7D%3D%20C_%7B%202m%2B3%20%7D%5E%7B%203m%20%7D%E2%8B%85%20A_%7B%20m-2%20%7D%5E%7B%201%20%7D$ ，公比q是 $%28x%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4x%5E%7B2%7D%7D%29%5E%7B4%7D$ 的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求a₁；
（2）用n，x表示数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（3）若 $A_%7Bn%7D%3D%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%201%20%7DS_%7B1%7D%2B%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%202%20%7DS_%7B2%7D%2B%E2%80%A6%2B%20C_%7B%20n%20%7D%5E%7B%20n%20%7DS_%7Bn%7D$ ，用n，x表示A_n．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷