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          共50条信息

            • 1． 已知函数\(f(x)= \dfrac {x^{2}+2x+a}{x},x∈[1,+∞)\)
              \((1)\)当\(a= \dfrac {1}{2}\)时，判断函数\(f(x)\)在\([1,+∞)\)的单调性，并加以证明．
              \((2)\)若对任意\(x∈[1,+∞)\)，\(f(x) > 0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 2．

              已知圆\(C\)：\({\left(x-1\right)}^{2}+{y}^{2}=16 \)，\(F\left(-1,0\right) \)，\(M\)是圆\(C\)上的一个动点，线段\(MF\)的垂直平分线与线段\(MC\)相交于点\(P\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求点\(P\)的轨迹方程\(E\)；

              \((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)过点\((-1,0)\)，交轨迹\(E\)于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，求\(∆OAB \)面积的最大值．

              难度：难
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            • 3．
              已知函数\(y=x+ \dfrac {a}{x}\)有如下性质：如果常数\(a > 0\)，那么该函数在\((0, \sqrt {a}]\)上是减函数，在\([ \sqrt {a},+∞)\)上是增函数．
              \((\)Ⅰ\()\)若函数\(y=x+ \dfrac {2^{b}}{x}(x > 0)\)的值域为\([6,+∞)\)，求实数\(b\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)已知\(f(x)= \dfrac {4x^{2}-12x-3}{2x+1},x∈[0,1]\)，求函数\(f(x)\)的单调区间和值域；
              \((\)Ⅲ\()\)对于\((\)Ⅱ\()\)中的函数\(f(x)\)和函数\(g(x)=-x-2c\)，若对任意\(x_{1}∈[0,1]\)，总存在\(x_{2}∈[0,1]\)，使得\(g(x_{2})=f(x_{1})\)成立，求实数\(c\)的值．
              难度：中等
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            • 4．
              定义区间\(I=(α,β)\)的长度为\(β-α\)，已知函数\(f(x)=ax^{2}+(a^{2}+1)x\)，其中\(a < 0\)，区间\(I=\{x|f(x) > 0\}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求区间\(I\)的长度；
              \((\)Ⅱ\()\)设区间\(I\)的长度函数为\(g(a)\)，试判断函数\(g(a)\)在\((-∞,-1]\)上的单调性；
              \((\)Ⅲ\()\)在上述函数\(g(a)\)中，若\(a∈(-∞,-1]\)，问：是否存在实数\(k\)，使得\(g(k-\sin x-3)\leqslant g(k^{2}-\sin ^{2}x-4)\)对一切\(x∈R\)恒成立，若存在，求出\(k\)的范围；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 5．
              已知函数\(f(x)=x+ \dfrac {4}{x}(\)其中常数\(a > 0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(f(x)\)在\((0,2]\)上是减函数，在\([2,+∞)\)上是增函数；
              \((\)Ⅱ\()\)求函数\(f(x)\)在区间\([2,4]\)上的值域．
              难度：易
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