知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知函数$f(x)=x+\dfrac{a}{x}-4$，$g(x)=kx+3$．
$($Ⅰ$)$对任意的$a\in [4,6]$，函数$\left| f(x) \right|$在区间$[1,m]$上的最大值为$\left| f(x) \right|$，试求实数$m$的取值范围；

$($Ⅱ$)$对任意的$a\in \left[ 1,2 \right]$，若不等式$\left| f(x{}_{1}) \right|-\left| f({{x}_{2}}) \right| < g({{x}_{1}})-g({{x}_{2}})$任意${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ 2,4 \right]\ \ ({{x}_{1}} < {{x}_{2}})$恒成立，求实数$k$的取值范围．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D%2Bb%28a%EF%BC%9E0%29$ 是奇函数．
（1）若点Q（1，3）在函数f（x）的图象上，求函数f（x）的解析式；
（2）写出函数f（x）的单调区间（不要解答过程，只写结果）；
（3）设点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R），点P在f（x）的图象上，且△ABP的面积为2，若这样的点P恰好有4个，求实数a的取值范围．

难度：较易

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3．（1）求证：函数y=x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0， $%20%5Csqrt%20%7Ba%7D$ ]上是减函数，在[ $%20%5Csqrt%20%7Ba%7D$ ，+∞）上是增函数．
（2）若f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D-12x-3%7D%7B2x%2B1%7D$ ，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的值域；
（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2a，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁），求实数a的值．

难度：较易

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4．

探究函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x},x∈(0,+∞)$的最小值，并确定取得最小值时$x$的值$.$列表如下：

$x$

$…$

$0.5$

$1$

$1.5$

$1.7$

$1.9$

$2$

$2.1$

$2.2$

$2.3$

$3$

$4$

$5$

$7$

$…$

$y$

$…$

$16$

$10$

$8.34$

$8.1$

$8.01$

$8$

$8.01$

$8.04$

$8.08$

$8.6$

$10$

$11.6$

$15.14$

$…$

请观察表中$y$值随$x$值变化的特点，完成以下的问题．
$(1)$函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x}(x > 0)$在区间$(0,2)$上递减；函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x}(x > 0)$在区间 ______ 上递增$.$当$x=$ ______ 时，$y_{最小}=$ ______ ．
$(2)$证明：函数$f(x)=2x+ \dfrac {8}{x}(x > 0)$在区间$(0,2)$递减．
$(3)$思考：函数$y=2x+ \dfrac {8}{x}$时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时$x$为何值？$($直接回答结果，不需证明$)$

难度：较易

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5．

探究函数$f(x){=}2x{+}\dfrac{8}{x}{,}x{∈}(0{,} + \infty)$的最小值，并确定取得最小值时$x$的值$.$列表如下：

$x$

$…$

$0.5$

$1$

$1.5$

$1.7$

$1.9$

$2$

$2.1$

$2.2$

$2.3$

$3$

$4$

$5$

$7$

$…$

$y$

$…$

$16$

$10$

$8.34$

$8.1$

$8.01$

$8$

$8.01$

$8.04$

$8.08$

$8.6$

$10$

$11.6$

$15.14$

$…$

请观察表中$y$值随$x$值变化的特点，完成以下的问题．
$(1)$函数$f(x){=}2x{+}\dfrac{8}{x}(x{ > }0)$在区间$(0,2)$上递减；函数$f(x){=}2x{+}\dfrac{8}{x}(x{ > }0)$在区间 ______上递增$.$当$x= $______时，$y_{最小}= $______．
$(2)$证明：函数$f(x){=}2x{+}\dfrac{8}{x}(x{ > }0)$在区间$(0,2)$递减．
$(3)$思考：函数$y=2x+\dfrac{8}{x}(x > 0)$时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时$x$为何值？$($直接回答结果，不需证明$)$

难度：较易

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6．已知函数$f(x)=x+ \dfrac {t}{x}(t > 0)$有如下性质：该函数在$(0, \sqrt {t}]$上是减函数，在$[ \sqrt {t},+∞)$是增函数
$(1)$若$g(x+ \dfrac {1}{x})=x^{2}+ \dfrac {1}{x^{2}}$，求$g(x)$的解析式
$(2)$已知函数$h(x)= \dfrac {4x^{2}-12x-3}{2x+1}(x∈[0,1])$，利用上述性质，求$h(x)$的值域．

难度：难

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7．已知函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7Bt%7D%7Bx%7D$ （t＞0）有如下性质：该函数在（0， $%20%5Csqrt%20%7Bt%7D$ ]上是减函数，在[ $%20%5Csqrt%20%7Bt%7D$ ，+∞）是增函数
（1）若g（x+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ ）=x²+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D$ ，求g（x）的解析式
（2）已知函数h（x）= $%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D-12x-3%7D%7B2x%2B1%7D$ （x∈[0，1]），利用上述性质，求h（x）的值域．

难度：较易

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8．设函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ （a为常数，且a＞0）．
（1）是否存在常数a，使f（x）在（0，3]上单调递减，且在[3，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若关于x的不等式x+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ -m≤0（m为常数）在[1，4]上恒成立，求常数m的取值范围．

难度：较易

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9．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B16%7D%7Bx%7D%2Bx%5E%7B2%7D%EF%BC%8Cx%E2%88%88%280%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$
（1）利用函数单调性定义，求函数f（x）单调区间；
（2）已知函数g（x）=|lgx|．若0＜a＜b，且g（a）=g（b），求a²+16b的取值范围．

难度：较易

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10．已知函数 $y%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在 $%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7Ba%7D%5D$ 上是减函数，在 $%5B%20%5Csqrt%20%7Ba%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$ 上是增函数．
（Ⅰ）若函数 $y%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B2%5E%7Bb%7D%7D%7Bx%7D$ （x＞0）的值域为[6，+∞），求实数b的值；
（Ⅱ）已知 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B4x%5E%7B2%7D-12x-3%7D%7B2x%2B1%7D%EF%BC%8Cx%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C1%5D$ ，求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2c，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数c的值．

难度：中等

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