知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=1+\log _{a}x\)，\(y=f^{-1}(x)\)是函数\(y=f(x)\)的反函数，若\(y=f^{-1}(x)\)的图象过点\((2,4)\)，则\(a\)的值为 ______ ．

难度：易

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2．
若函数\(f(x)=x^{a}\)的反函数的图象经过点\(( \dfrac {1}{2}, \dfrac {1}{4})\)，则\(a=\) ______ ．

难度：较易

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3．
已知函数\(f(x)=x^{2}-3tx+1\)，其定义域为\([0,3]∪[12,15]\)，
\((1)\)当\(t=2\)时，求函数\(y=f(x)\)的反函数；
\((2)\)如果函数\(y=f(x)\)在其定义域内有反函数，求实数\(t\)的取值范围．

难度：较易

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4．
设常数\(a∈R\)，函数\(f(x)=1og_{2}(x+a).\)若\(f(x)\)的反函数的图象经过点\((3,1)\)，则\(a=\) ______ ．

难度：易

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5．
已知\(f^{-1}(x)\)是函数\(f(x)=\log _{2}(x+1)\)的反函数，则\(f^{-1}(2)=\) ______

难度：较易

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6．
若\(f(x)=(x-1)^{2}(x\leqslant 1)\)，则其反函数\(f^{-1}(x)=\) ______ ．

难度：易

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7．
已知\(f(x)=( \dfrac {x-1}{x+1})^{2}(x > 1)\)
\((1)\)求\(f(x)\)的反函数及其定义域；
\((2)\)若不等式\((1- \sqrt {x})f^{-1}(x) > a(a- \sqrt {x})\)对区间\(x∈[ \dfrac {1}{4}, \dfrac {1}{2}]\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：易

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8．
已知函数\(y=f(x)\)是奇函数，且当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=\log _{2}(x+1).\)若函数\(y=g(x)\)是\(y=f(x)\)的反函数，则\(g(-3)=\) ______ ．

难度：易

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9．
已知函数\(g(x)= \dfrac {10^{x}-1}{10^{x}+1}\)，\(x∈R\)，函数\(y=f(x)\)是函数\(y=g(x)\)的反函数．
\((1)\)求函数\(y=f(x)\)的解析式，并写出定义域\(D\)；
\((2)\)设\(h(x)= \dfrac {1}{x}-f(x)\)，若函数\(y=h(x)\)在区间\((0,1)\)内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数\(y=h(x)\)在区间\((-1,0)\)内必有唯一的零点\((\)假设为\(t)\)，且\(-1 < t < - \dfrac {1}{2}\)．

难度：难

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10．
已知函数\(f(x)= \begin{cases} \overset{-2x,-1\leqslant x < 0}{x^{2}-1,0\leqslant x\leqslant 1.}\end{cases}\)
\((1)\)求函数\(f(x)\)的反函数\(f^{-1}(x)\)；
\((2)\)试问：函数\(f(x)\)的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；
\((3)\)若方程\(f(x)+2 \sqrt {1-x^{2}}+|f(x)-2 \sqrt {1-x^{2}}|-2ax-4=0\)的三个实数根\(x_{1}\)、\(x_{2}\)、\(x_{3}\)满足：\(x_{1} < x_{2} < x_{3}\)，且\(x_{3}-x_{2}=2(x_{2}-x_{1})\)，求实数\(a\)的值．

难度：较易

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