知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设定义R上在函数f（x）=
2-x，x＜0
ax3+(b-4a)x2-(4b+m)x+n，0≤x≤4
a(log4x-1)，x＞4
（a，b，m，n为常数，且a≠0）的图象不间断．
（1）求m，n的值；
（2）设a，b互为相反数，且f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；
（3）若a=1，b∈R，试讨论函数g（x）=f（x）+b的零点的个数，并说明理由．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=lnx-
1
2
ax+a-2，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＜0时，试判断g（x）=xf（x）+2的零点个数．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=ae^2x+be^x（a≠0），g（x）=x，（e为自然对数的底数）
（I）若a=b=1，求F（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-g（x）有两个不同的零点x₁，x₂，记x₀=
x1+x2
2
，对任意a∈（0，+∞），b∈R，试比较f′（x₀）与g′（x₀）的大小，并证明你的结论．

难度：中等

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4．设函数f（x）=
1
2
x²-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x，m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．

难度：中等

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5．已知f（x）=1-
2
2x+1
，g（x）=2sin（2x-
π
6
）．
（1）若函数g（x）=（2^x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围；
（2）对任意x₁∈（0，1），总存在x₂∈[-
π
4
，
π
6
]，使不等式f（x₁）-m•2 x1＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=
|lnx|，x＞0
x2+4x+1，x≤0
，g（x）=f（x）-a
（1）当a=2时，求函数g（x）的零点；
（2）若函数g（x）有四个零点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记g（x）得四个零点分别为x₁，x₂，x₃，x₄，求x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）=f（sinx）-2存在零点，求a的取值范围．

难度：较难

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8．设函数f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），证明：当a＞2时，函数g（x）在（0，+∞）上仅有一个零点；
（Ⅲ）若对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x-1）=x²+（2a-2）x+3-2a
（1）求实数a的值，使f（x）在区间[-5，5]上的最小值为-1；
（2）已知函数g（x）=2x+
x+1
，对任意使g（x）有意义的实数x₁，总存在实数x₂，使g（x₁）=f（x₂）成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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10．设函数f（x）=xⁿ-lnx-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）若n=2，求函数f（x）的极值；
（2）求证：①函数f（x）存在两个零点x₁，x₂；
②x₁x₂＞e
2
n
-2（e为自然对数的底数．）

难度：较难

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