知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．函数y=
3 x
-
1
x2
的零点是．

难度：较易

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2．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（1）当0＜a＜1时，求证：函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；
（2）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（3）对于任意x₁，x₂∈[-1，1]都有，|f（x₁）-f（x₂）≤e-1，试求a的取值范围．|

难度：中等

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3．已知函数f（x）=a+
x
lnx（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

难度：中等

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4．已知函数f(x)=
2-(
1
2
)x，x≤0
1
2
x2-x+1，x＞0
．
（1）写出该函数的单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m恰有1个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤n²-2bn+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数n的取值范围．

难度：中等

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5．设函数f（x）=1+a•（
1
2
）^x+（
1
4
）^x，a∈R．
（Ⅰ）不论a为何值时，f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．

难度：中等

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6．已知x_n是函数f（x）=xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．
（1）证明：
1
2
＜x_n+1＜x_n＜1；
（2）证明：
x2+…+xn
n
＜
1
2
．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=xlnx-k（x-1），k∈R．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间．
（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，求实数k的取值范围．
（3）是否存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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