知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+
4
x2-2xy+y2
≥y+3．

难度：较易

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2．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜4；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求
m2+2
m
+
n2+1
n
的取值范围．

难度：中等

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3．已知关于x的不等式为12x²-ax＞a²．
（1）当a=2时，求不等式的解集；
（2）当a∈R时，求不等式的解集．

难度：较易

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4．设函数f（x）=|2x-a|，
（Ⅰ）若a=4，求f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若f（x+1）＞|2-a|对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．已知a＞0，b＞0，c＞0，若函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为2．
（1）求a+b+c的值；
（2）求
1
a
+
1
b
+
1
c
的最小值．

难度：中等

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6．已知∃x₀∈R使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t成立．
（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；
（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log₃m•log₃n≥t恒成立，试求m+n的最小值．

难度：中等

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7．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？

难度：中等

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8．求下列函数的单调区间：
（1）y=3x²+6x+5；
（2）y=2x³-9x²+12x-3；
（3）y=2x+
8
x
（x＞0）；
（4）y=x-lnx²．

难度：中等

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9．某工厂每年需要某种材料3000件，设该厂对该种材料的消耗是均匀的，该厂准备分若干次等量进货，每次进货需运费30元，且在用完时能立即进货，已知储存在仓库中的材料每件每年储存费为2元，而平均储存的材料量为每次进货量的一半，欲使一年的运费和仓库中储存材料的费用之和最省，每次进货量应为多少件？

难度：中等

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10．用分析法证明：当x≥0，y≥0时，
x
≥
x+y
-
y
．

难度：中等

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