知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x-a|+|x+b|+c的最小值为1．
（1）求a+b+c的值；
（2）求证：a²+b²+c²≥
1
3
．

难度：中等

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2．（2015秋•洪湖市校级期中）据报我国正分别在大连和上海建造两航母，而建造航母必需特种钢．为建造航母的需要，要将两种不同的特种钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截成三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需要A、B、C三种规格的成品分别15、18、27块．问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

难度：较难

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3．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示：
规格类型
钢板类型 A B C
第一种钢板　　　1 　　　2 　　　　　1
第二种钢板　　2 　　　　1 　　　　　3
今需要三种规格的成品分别为12、15、27块，用数学关系式和图形表示上述要求．

难度：较易

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4．参考如下定义及定理，解答问题．
定义：横坐标与纵坐标均为整数的点叫做整点，顶点为整点的三角形叫做整点三角形．
定理：设整点三角形内部的整点数为N，边上（包括顶点）的整点数为L，则三角形的面积为S=N+
L
2
-1．
问题：求满足不等式组
y≤2x
y≥
1
2
x
x+y≤30
的整点的个数．

难度：较难

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5．画出不等式组
x-y-2≤0
x+y-3≤0
|x|≤1
表示的平面区域，并求其面积．

难度：较易

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6．已知正实数x，y满足等式
1
x
+
3
y
=2．
（1）求xy的最小值；
（2）若3x+y≥m²-m恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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7． m为整数，关于x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为3．
（1）求整数m的值；
（2）对满足已知不等式的x，证明：
2x+m
-
x-1
＞2．

难度：中等

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8．变量x，y满足条件
x-4y≤-3
3x+5y≤25
x≥1
，求z=2x-3y的最大值和最小值．

难度：中等

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9．设f（x）=|x-1|-|x-2|，若不等式f（x）＜ax的解集包含区间（-1，3）．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取得最大值时，若正数x、y、z满足x+y+z=a，求
1
1+x
+
1
1+y
+
1
1+z
的最小值．

难度：中等

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10．已知a，b∈R⁺，
2
a
+
3
b
=2．求ab的最大值，a+b的最小值，2a+3b的最小值，并取得最值时相应的a，b的值．

难度：较易

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规格类型钢板类型	A规格	B规格	C规格
第一种钢板	2	1	1
第二种钢板	1	2	3