为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图\((\)如图所示\()\)为矩形且面积为\(200 m^{2}\)的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过\(16 m\)，如果池外壁建造单价为\(400\)元\(/m\)，中间两条隔墙建造单价为\(248\)元\(/m\)，池底建造单价为\(80\)元\(/m^{2}(\)池壁厚度忽略不计，且池无盖\()\)．

\((1)\)写出总造价\(y(\)元\()\)与\(x\)的函数关系式，并指出定义域；

\((2)\)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价．

已知函数\(f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}}\)．

    \((1)\)求\(f(2)\)与\(f\left( \dfrac{{1}}{{2}} \right)\)，\(f(3)\)与\(f\left( \dfrac{{1}}{{3}} \right)\)；

    \((2)\)根据\((1)\)中结果，你能发现当\(x\neq 0\)时，\(f(x)\)与\(f\left( \dfrac{{1}}{x} \right)\)有什么关系？并证明你的发现；

    \((3)\)求\(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots +f(2012)+f\left( \dfrac{1}{2} \right)+f\left( \dfrac{1}{3} \right)+\ldots +f\left( \dfrac{1}{2012} \right)\)．

已知函数\(f(x)=\begin{cases} & x+2(x\leqslant -1) \\ & {{x}^{2}}(-1 < x < 2) \\ & 2x(x\geqslant 2) \\ \end{cases}\)

\((1)\)求\(f[f(\sqrt{3})]\)的值；

\((2)\)若\(f(a)=3\)，求\(a\)的值．

如果函数\(y=f\left(x\right) \)的定义域为\(R\)，对于定义域内的任意\(x\)，存在实数\(a\)使得\(f\left(x+a\right)=f\left(-x\right) \)成立，则称此函数具有“\(P\left(a\right) \)性质”．

\((\)Ⅰ\()\)判断函数\(y=\sin x \)是否具有“\(P\left(a\right) \)性质”，若具有“\(P\left(a\right) \)性质”求出所有\(a\)的值；若不具有“\(P\left(a\right) \)性质”，请说明理由．

\((\)Ⅱ\()\)已知\(y=f\left(x\right) \)具有“\(P\left(0\right) \)性质”，且当\(x\leqslant 0 \)时\(f\left(x\right)={\left(x+m\right)}^{2} \)，求\(y=f\left(x\right) \)在\(\left[0,1\right] \)上的最大值．

\((\)Ⅲ\()\)设函数\(y=g\left(x\right) \)具有“\(P\left(±1\right) \)性质”，且当\(- \dfrac{1}{2}\leqslant x\leqslant \dfrac{1}{2} \)时，\(g\left(x\right)=\left|x\right| .\)若\(y=g\left(x\right) \)与\(y=mx \)交点个数为\(2013\)个，求\(m\)的值．