知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1-x%7D%7B1%2Bx%7D$ ．
（1）证明：f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减；
（2）设g（x）=log₂f（x），x∈（0，1），求g（x）的值域．

难度：较易

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2．给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数y=（ $%20%5Csqrt%20%7Bx%7D$ ）²表示同一个函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；
其中正确命题的序号是 ______ （填上所有正确命题的序号）

难度：易

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3．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）

难度：较难

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4．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=f（x）-f（-x）+ $%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D$ ，试判断F（x）的奇偶性，并说明理由．

难度：较易

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5．对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
第一组： $f_%7B1%7D%28x%29%3Dsinx%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0f_%7B2%7D%28x%29%3Dcosx%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0h%28x%29%3Dsin%28x%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%29$ ；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）设 $f_%7B1%7D%28x%29%3Dlog_%7B2%7Dx%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0f_%7B2%7D%28x%29%3Dlog_%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%7Dx%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0a%3D2%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0b%3D1$ ，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设 $f_%7B1%7D%28x%29%3Dx%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0%C2%A0f_%7B2%7D%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D%C2%A0%C2%A0%C2%A0%281%E2%89%A4x%E2%89%A410%29$ ，取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

难度：中等

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6．已知集合A={x|ax²+2x+1=0，x∈R}，a为实数．
（1）若A是空集，求a的取值范围
（2）若A是单元素集，求a的值．

难度：中等

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7．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关系．

难度：中等

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8．已知函数y=|x+1|+|1-x|．
（1）用分段函数形式写出函数的解析式；
（2）画出该函数的大致图象．

难度：中等

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9．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性并证明你的结论；
（3）试讨论的单调性.

难度：易

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10．已知函数f（x）=1+
|x|-x
2
（-2＜x≤2），用分段函数的形式表示该函数．

难度：较易

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