知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）=x²-alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；
（3）设g（x）=f（x）-2x，若g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：g（x₁）+g（x₂）＞-
5
2
．

难度：中等

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2．已知f（x）=2x+3-
ln(2x+1)
2x+1
．
（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；
（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=a（x-1）（e^x-a）（常数a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，函数f（x）有且只有一个极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点x₁，x₂，证明：0＜f（x₁）＜
4
e2
且0＜f（x₂）＜
4
e2
．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=alnx+
1
x
．a∈R．
（1）若f（x）有极值，求a的取值范围．
（2）若f（x）有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由．

难度：中等

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5．已知函数f(x)=lnx-
a(x-1)
x+1
，a∈R．
（Ⅰ）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：
m-n
lnm-lnn
＜
m+n
2
．

难度：中等

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6．设函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-4e²只有一个零点，求实数a的取值范围．

难度：较难

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7．函数f（x）=（1+ax²）e^x（a≠0）在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=x³-3ax²+4，若f（x）存在唯一的零点x₀，且x₀＜0，则实数a的取值范围为（　　）

A．（-∞，3）

B．（-∞，1）

C．（-1，+∞）

D．（-3，+∞）

难度：中等

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9．函数f(x)=
1
3
x3-
1
4
x4在区间（0，3）上的极值点为．

难度：中等

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10．若函数f（x）=x³+ax²-x在x∈（1，2）上有极值，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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