知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=2x^{2}-3x-\ln x+e^{x-a}+4e^{a-x}\)，其中\(e\)为自然对数的底数，若存在实数\(x_{0}\)使\(f(x_{0})=3\)成立，则实数\(a\)的值为 ______ ．

难度：较易

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2．
已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}-ax^{2}+bx+9\)，且\(f′(x)=0\)的两根分别为\(1\)和\(3\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的解析式；
\((2)\)求\(f(x)\)的极值．

难度：较易

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3．
已知函数\(f(x)=(x-1)e^{x}-ax^{2}(e\)是自然对数的底数\()\)．
\((\)Ⅰ\()\)判断函数\(f(x)\)极值点的个数，并说明理由；
\((\)Ⅱ\()\)若\(∀x∈R\)，\(f(x)+e^{x}\geqslant x^{3}+x\)，求\(a\)的取值范围．

难度：较易

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4．
已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{2}x^{2}-ax+\ln x\)，其中\(a∈R\)．
\((\)Ⅰ\()\)讨论函数\(f(x)\)极值点的个数；
\((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)有两个极值点\(m\)，\(n\)，其中\(m < n\)且\(m > \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)是否存在整数\(k\)使得不等式\(f(n)+k < f(m) < f(n)+3k+5\ln 2\)恒成立？若存在，求整数\(k\)的值；若不存在，请说明理由\(.(\)参考数据：\(\ln 2≈0.7\)，\(\ln 3≈1.1)\)

难度：中等

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5．
设\(x=1\)与\(x=-2\)是函数\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}-2x\)，\(a\neq 0\)的两个极值点．
\((1)\)试确定常数\(a\)和\(b\)的值；
\((2)\)求函数\(f(x)\)的单调区间．

难度：较易

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6．
对于定义在区间\(D\)上的函数\(f(x)\)，若存在正整数\(k\)，使不等式\( \dfrac {1}{k} < f(x) < k\)恒成立，则称\(f(x)\)为\(D(k)\)型函数．
\((1)\)设函数\(f(x)=a|x|\)，定义域\(D=[-3,-1]∪[1,3].\)若\(f(x)\)是\(D(3)\)型函数，求实数\(a\)的取值范围；
\((2)\)设函数\(g(x)=e^{x}-x^{2}-x\)，定义域\(D=(0,2).\)判断\(g(x)\)是否为\(D(2)\)型函数，并给出证明\(.(\)参考数据：\(7 < e^{2} < 8)\)

难度：较易

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7．
已知函数\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}\cos θ+ \dfrac {3}{16}\cos θ\)，其中\(x∈R\)，\(θ\)为参数，且\(0\leqslant θ\leqslant 2π\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(\cos θ=0\)时，判断函数\(f(x)\)是否有极值；
\((\)Ⅱ\()\)要使函数\(f(x)\)的极小值大于零，求参数\(θ\)的取值范围；
\((\)Ⅲ\()\)若对\((2)\)中所求的取值范围内的任意参数\(θ\)，函数\(f(x)\)在区间\((2a-1,a)\)内都是增函数，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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8．
已知函数\(f(x)=e^{x}-ax+a-1\)．
\((1)\)若\(f(x)\)的极值为\(e-1\)，求\(a\)的值；
\((2)\)若\(x∈[a,+∞)\)时，\(f(x)\geqslant 0\)恒成立，求\(a\)的取值范围．

难度：中等

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9．
已知函数\(f(x)=a\ln x-x^{2}+ \dfrac {1}{2}a(a∈R)\)．
\((1)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
\((2)\)若函数\(f(x)\)在定义域内恒有\(f(x)\leqslant 0\)，求实数\(a\)的取值范围．

难度：难

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10．

设函数\(f(x)\)满足\(x^{2}f′(x)+2xf(x)= \dfrac {e^{x}}{x}\)，\(f(2)= \dfrac {e^{2}}{8}\)，则\(x > 0\)时，\(f(x)(\)　　\()\)

A．有极大值，无极小值

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值

D．既无极大值也无极小值

难度：难

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