知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知\(f(x)=e^{x}-a\ln x(a∈R)\)．
\((1)\)求函数\(f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；
\((2)\)当\(a=-1\)时，若不等式\(f(x) > e+m(x-1)\)对任意\(x∈(1,+∞)\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．

难度：较易

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2．
已知函数\(f(x)=me^{x}-\ln x-1\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(m=1\)时，求曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；
\((\)Ⅱ\()\)当\(m\geqslant 1\)时，证明：\(f(x) > 1\)．

难度：中等

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3．
已知函数\(f(x)= \dfrac {\ln x}{x}\)，\(g(x)= \dfrac {m}{x}- \dfrac {3}{x^{2}}-1\)．
\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的单调区间；
\((\)Ⅱ\()\)对一切\(x∈(0,+∞)\)，\(2f(x)\geqslant g(x)\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围；
\((\)Ⅲ\()\)证明：对一切\(x∈(0,+∞)\)，都有\(\ln x < \dfrac {2x}{e}- \dfrac {x^{2}}{e^{x}}\)成立．

难度：难

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4．
已知函数\(f(x)=\ln (1+mx)+ \dfrac {x^{2}}{2}-mx\)，其中\(0 < m\leqslant 1\)．
\((1)\)若\(m=1\)，求证：\(-1 < x\leqslant 0\)时，\(f(x)\leqslant \dfrac {x^{3}}{3}\)；
\((2)\)试讨论函数\(y=f(x)\)的零点个数．

难度：中等

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5．
己知函数\(g(x)=x^{4}\)，\(x∈R\)，在点\((1,g(1))\)处的切线方程记为\(y=m(x)\)，令\(f(x)=m(x)-g(x)+3\)．
\((I)\)设函数\(f(x)\)的图象与\(x\)轴正半轴相交于\(P\)，\(f(x)\)在点\(P\)处的切线为\(l\)，证明：曲线\(y=f(x)\)上的点都不在直线\(l\)的上方；
\((II)\)关于\(x\)的方程\(f(x)=a(a\)为正实数\()\)有两个实根\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，求证：\(|x_{2}-x_{1}| < 2- \dfrac {a}{3}\)．

难度：中等

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6．

定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)的导函数为\(f{{"}}(x)\)，\(f(0)=0\)若对任意\(x∈R\)，都有\(f(x) > f{{"}}(x)+1\)，则使得\(f(x)+e^{x} < 1\)成立的\(x\)的取值范围为\((\)　　\()\)

A．\((0,+∞)\)

B．\((-∞,0)\)

C．\((-1,+∞)\)

D．\((-∞,1)\)

难度：难

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7．
已知函数\(f(x)=x-(a+1)\ln x- \dfrac {a}{x}(a∈R\)，且\(a < 1)\)，\(g(x)= \dfrac {1}{2}x^{2}+e^{x}-xe^{x}\)，若存在\(x_{1}∈[e,e^{2}]\)，使得对任意\(x_{2}∈[-2,0]\)，\(f(x_{1}) < g(x_{2})\)恒成立，则\(a\)的取值范围是 ______ ．

难度：较易

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8．
已知函数\(f(x)= \dfrac {ax}{e^{x}+1}+be^{-x}\)，点\(M(0,1)\)在曲线\(y=f(x)\)上，且曲线在点\(M\)处的切线与直线\(2x-y=0\)垂直．
\((1)\)求\(a\)，\(b\)的值；
\((2)\)如果当\(x\neq 0\)时，都有\(f(x) > \dfrac {x}{e^{x}-1}+ke^{-x}\)，求\(k\)的取值范围．

难度：较易

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9．
已知函数\(g(x)=(t-1)x- \dfrac {4}{x}\)，\(x∈[1,2]\)的最大值为\(f(t)\)，则\(f(t)\)的解析式为\(f(t)=\)
______ ．

难度：较易

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10．
已知函数\(f(x)=x\ln x,g(x)= \dfrac {x}{e^{x}}\)，记\(F(x)=f(x)-g(x)\)．
\((1)\)求证：\(F(x)\)在区间\((1,+∞)\)内有且仅有一个实数；
\((2)\)用\(min\{a,b\}\)表示\(a\)，\(b\)中的最小值，设函数\(m(x)=min\{f(x),g(x)\}\)，若方程\(m(x)=c\)在区间\((1,+∞)\)内有两个不相等的实根\(x_{1}\)，\(x_{2}(x_{1} < x_{2})\)，记\(F(x)\)在\((1,+∞)\)内的实根为\(x_{0}.\)求证：\( \dfrac {x_{1}+x_{2}}{2} > x_{0}\)．

难度：中等

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