知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=2x^{2}-3x-\ln x+e^{x-a}+4e^{a-x}\)，其中\(e\)为自然对数的底数，若存在实数\(x_{0}\)使\(f(x_{0})=3\)成立，则实数\(a\)的值为 ______ ．

难度：较易

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2．
设函数\(f(x)= \dfrac {1}{2}ax^{2}-1-\ln x\)，其中\(a∈R\)．
\((1)\)若\(a=0\)，求过点\((0,-1)\)且与曲线\(y=f(x)\)相切的直线方程；
\((2)\)若函数\(f(x)\)有两个零点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，
\(①\)求\(a\)的取值范围；
\(②\)求证：\(f′(x_{1})+f′(x_{2}) < 0\)．

难度：中等

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3．
已知函数\(f(x)= \dfrac {\ln x}{x+a}\)．
\((I)\)当\(a=0\)时，求函数\(f(x)\)的单调递增区间；
\((\)Ⅱ\()\)当\(a > 0\)时，若函数\(f(x)\)的最大值为\( \dfrac {1}{e^{2}}\)，求\(a\)的值．

难度：较易

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4．
已知函数\(f(x)=(x-1)e^{x}-ax^{2}(e\)是自然对数的底数\()\)．
\((\)Ⅰ\()\)判断函数\(f(x)\)极值点的个数，并说明理由；
\((\)Ⅱ\()\)若\(∀x∈R\)，\(f(x)+e^{x}\geqslant x^{3}+x\)，求\(a\)的取值范围．

难度：较易

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5．
对于定义在区间\(D\)上的函数\(f(x)\)，若存在正整数\(k\)，使不等式\( \dfrac {1}{k} < f(x) < k\)恒成立，则称\(f(x)\)为\(D(k)\)型函数．
\((1)\)设函数\(f(x)=a|x|\)，定义域\(D=[-3,-1]∪[1,3].\)若\(f(x)\)是\(D(3)\)型函数，求实数\(a\)的取值范围；
\((2)\)设函数\(g(x)=e^{x}-x^{2}-x\)，定义域\(D=(0,2).\)判断\(g(x)\)是否为\(D(2)\)型函数，并给出证明\(.(\)参考数据：\(7 < e^{2} < 8)\)

难度：较易

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6．
已知函数\(f(x)=e^{x}-ax+a-1\)．
\((1)\)若\(f(x)\)的极值为\(e-1\)，求\(a\)的值；
\((2)\)若\(x∈[a,+∞)\)时，\(f(x)\geqslant 0\)恒成立，求\(a\)的取值范围．

难度：中等

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7．
已知函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)在\(x=- \dfrac {2}{3}\)，\(x=1\)处都取得极值
\((1)\)求\(a\)，\(b\)的值与函数\(f(x)\)的单调递减区间；
\((2)\)若对\(x∈[-1,2]\)，不等式\(f(x) < c^{2}\)恒成立，求\(c\)的取值范围．

难度：较难

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8．
已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}+ax+4(a∈R)\)在\(x=2\)处有极值．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)求\(f(x)\)在\([0,3]\)上的最大值和最小值；
\((\)Ⅲ\()\)在下面的坐标系中作出\(f(x)\)在\([0,3]\)上的图象，若方程\(f(x)=bx\)在\([0,3]\)上有\(2\)个不同的实数解，结合图象求实数\(b\)的取值范围．

难度：较难

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9．
已知\(f(x)=|2x+1|+|x-1|\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)在\([-1,1]\)上的最大值\(m\)及最小值\(n\)；
\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)的条件下，设\(a\)，\(b∈R\)，且\(am+bn=1\)，求证：\(a^{2}+b^{2}\geqslant \dfrac {4}{45}\)．

难度：较易

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10．
已知函数\(f(x)= \dfrac {4 \sqrt {x}-3}{e^{2x}}\)，\(g(x)=- \dfrac {1}{2}x^{2}+ax\)．
\((I)\)若\(y=f(x)\)在\(x=1\)处的切线与\(y=g(x)\)也相切，求\(a\)的值；
\((II)\)若\(a=1\)，求函数\(y=f(x)+g(x)\)的最大值．

难度：较易

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