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          共50条信息

            • 1．
              已知函数\(g(x)=\ln x+2x+ \dfrac {a}{x}(a∈R)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)讨论\(g(x)\)的单调性；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)= \dfrac {1}{x+1}[g(x)-2x- \dfrac {a}{x}]+ \dfrac {1}{x}.\)证明：当\(x > 0\)，且\(x\neq 1\)时，\(f(x) > \dfrac {\ln x}{x-1}\)．
              难度：较易
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            • 2．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {e^{x}}{x}-mx(e\)为自然对数的底数\()\)，若\(f(x) > 0\)在\((0,+∞)\)上恒成立，则实数\(m\)的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\((-∞,2)\)
              B．\((-∞, \dfrac {e^{2}}{4})\)
              C．\((-∞,e)\)
              D．\(( \dfrac {e^{2}}{4},+∞)\)
              难度：中等
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            • 3．
              已知函数\(f(x)=λ\ln x-e^{-x}(λ∈R)\)．
              \((1)\)若函数\(f(x)\)是单调函数，求\(λ\)的取值范围；
              \((2)\)求证：当\(0 < x_{1} < x_{2}\)时，都有\(e\;^{1-x_{2}}-e\;^{1-x_{1}} > 1- \dfrac {x_{2}}{x_{1}}\)．
              难度：中等
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            • 4．
              设函数\(f(x)= \dfrac {x^{2}+1}{x}\)，\(g(x)= \dfrac {x}{e^{x}}\)，对任意\(x_{1}\)，\(x_{2}∈(0,+∞)\)，不等式\( \dfrac {g(x_{1})}{k}\leqslant \dfrac {f(x_{2})}{k+1}\)恒成立，则正数\(k\)的取值范围是 ______ ．
              难度：较易
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            • 5．
              \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)在区间\([-1,1]\)上的最大值是\((\)　　\()\)
              A．\(-2\)
              B．\(0\)
              C．\(2\)
              D．\(4\)
              难度：较易
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            • 6．
              已知函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)，\(g(x)=\ln x\)．
              \((1)\)若\(a=0\)，\(b=-2\)，且\(f(x)\geqslant g(x)\)恒成立，求实数\(c\)的取值范围；
              \((2)\)若\(b=-3\)，且函数\(y=f(x)\)在区间\((-1,1)\)上是单调递减函数．
              \(①\)求实数\(a\)的值；
              \(②\)当\(c=2\)时，求函数\(h(x)= \begin{cases} \overset{f(x),f(x)\geqslant g(x)}{g(x),f(x) < g(x)}\end{cases}\)的值域．
              难度：较易
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            • 7．
              已知函数\(f(x)=\ln x\)，\(g(x)=x+m\)．
              \((1)\)若\(f(x)\leqslant g(x)\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围；
              \((2)\)若\(x_{1}\)，\(x_{2}\)是函数\(F(x)=f(x)-g(x)\)的两个零点，且\(x_{1} < x_{2}\)，求证：\(x_{1}x_{2} < 1\)．
              难度：较易
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            • 8．
              已知函数\(f(x)=e^{x}\)，\(g(x)=\ln x\)，\(h(x)=kx+b\)．
              \((1)\)当\(b=0\)时，若对任意\(x∈(0,+∞)\)均有\(f(x)\geqslant h(x)\geqslant g(x)\)成立，求实数\(k\)的取值范围；
              \((2)\)设直线\(h(x)\)与曲线\(f(x)\)和曲线\(g(x)\)相切，切点分别为\(A(x_{1},f(x_{1}))\)，\(B(x_{2},g(x_{2}))\)，其中\(x_{1} < 0\)．
              \(①\)求证：\(x_{2} > e\)；
              \(②\)当\(x\geqslant x_{2}\)时，关于\(x\)的不等式\(a(x_{1}-1)+x\ln x-x\geqslant 0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 9．
              已知函数\(f(x)=x+a\ln x\)，\(a∈R\)．
              \((\)Ⅰ\()\)当\(a=1\)时，求曲线\(y=f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程；
              \((\)Ⅱ\()\)求函数\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最小值；
              \((\)Ⅲ\()\)若函数\(F(x)= \dfrac {1}{x^{2}}f(x)\)，当\(a=2\)时，\(F(x)\)的最大值为\(M\)，求证：\(M < \dfrac {3}{2}\)．
              难度：中等
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            • 10．
              已知\(f(x)=(ax-1)e^{x}+x^{2}\)．
              \((1)\)若\(f(x)\)在\(x=a-1\)处取得极值，求实数\(a\)的值；
              \((2)\)证明：：\(a > 0\)时，\(f(x)\geqslant \ln (ax-1)+x^{2}+x+1\)．
              难度：中等
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