知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（文）在数列{a_n}中，a₁=2，且对任意大于1的正整数n，点（
an
，
an-1
）在直线y=x-
2
上，则
lim
n→∞
an
(n+1)2
= ．

难度：较难

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2．数列{a_n}满足a1=
1
5
，an+an+1=
6
5n+1
(n∈N*)，则
lim
n→∞
(a1+a2+…+an)= ．

难度：中等

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3．设n∈N^*，圆C_n：（x-
1
n
）²+（y-1）²=
4n+1-1
4n+1+2
的面积为S_n，则
lim
n→∞
S_n= ．

难度：中等

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4．已知等差数列{a_n}，公差d＞0，前n项和为S_n，且满足a₂a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）设bn=
Sn
n-
1
2
，
①求证{b_n}是等差数列．
②求数列{
1
bn•bn+1
}的前n项和T_n．
③求
lim
n→∞
Tn．

难度：中等

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5．若数列{a_n}为无穷等比数列，且
lim
n→∞
（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=
1
7
，则a₁的取值范围是．

难度：中等

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6．（2015春•上海校级期末）在等腰直角△ABC中，∠A=90°，BC=6，△ABC中排列着内接正方形，如图所示，若正方形的面积依次为S₁，S₂，…，S_n，…（从大到小），其中n∈N⁺，则
lim
n→∞
（S₁+S₂+…+S_n）= ．

难度：较难

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7．（2015•闸北区二模）观察下表：设第n行的各数之和为S_n，则
lim
n→∞
Sn
n2
= ．

难度：中等

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8．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=1，4S_n=（a_n+1）²（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
an+1
an
+
an
an+1
（∈N^*），试求
lim
n→∞
（b₁+b₂+…+b_n-2n）的值；
（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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9．已知对任意n∈N^*，向量
dn
=(an+1-
1
4
an ，
a
2
n+1
an
)都是直线y=x的方向向量，设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，则
lim
n→∞
Sn= ．

难度：中等

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10．已知等比数列{a_n}满足a₂=2，a₃=1，则
lim
n→+∞
(a1a2+a2a3+…+anan+1)= ．

难度：中等

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