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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2an（n∈N*）．
              （I）求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）设bn=log2an，数列{
              1
              bn•bn+1
              }的前n项和为Tn，证明：Tn＜1．
              难度：中等
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            • 2． 给定数列{an}，记该数列前i项a1，a2，…，ai中的最大项为Ai，即Ai=max{a1，a2，…，ai}；该数列后n-i项ai+1，ai+2，…，an中的最小项为Bi，即Bi=min{ai+1，ai+2，…，an}；di=Ai-Bi（i=1，2，3，…，n-1）
              （1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；
              （2）若Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有(1-λ)Sn=-λan+
              2
              3
              n+
              1
              3
              ，其中λ为实数，λ＞0且λ≠
              1
              3
              ，λ≠1              ．
              ①设bn=an+
              2
              3(λ-1)
              ，证明数列{bn}是等比数列；
              ②若数列{an}对应的di满足di+1＞di对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．
              难度：中等
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            • 3． 数列{an}各项均为正数，a1=
              1
              2
              ，且对任意的n∈N*，都有an+1=an+can2（c＞0）．
              （1）求
              c
              1+ca1
              +
              c
              1+ca2
              +
              1
              a3
              的值；
              （2）若c=
              1
              2016
              ，是否存在n∈N*，使得an＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 4． 正项数列a1，a2，…，am（m≥4，m∈N*）满足：a1，a2，a3，…，ak-1，ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，a1，am，am-1，…，ak+1，ak是公比为2的等比数列．
              （1）若a1=d=2，k=8，求数列a1，a2，…，am的所有项的和Sm；
              （2）若a1=d=2，m＜2016，求m的最大值；
              （3）是否存在正整数k，满足a1+a2+…+ak-1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am-1+am）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 5． 已知数列{an}满足a1=1，a2=
              1
              2
              ，且[3+（-1）n]an+2-2an+2[（-1）n-1]=0，0∈N*，记T2n为数列{an}的前2n项和，数列{bn}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式（T2n+
              1
              bn
              ）•
              1
              bn
              ＜1成立的最小整数n为（　　）
              A．7
              B．6
              C．5
              D．4
              难度：较易
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            • 6． 已知各项均为正数的数列{an}满足：an+1=
              		an
              2
              +
              1
              2
              （n∈N+）．
              （1）若（a1-1）（a2-2）＜0，求a1的范围；
              （2）设max{a，b}表示a、b两数中较大的数．试证明：对任意的n∈N+，都有an≤max{1，a1}．
              难度：较难
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            • 7． 已知数列{an+1}是等比数列，a3=3，a6=31，数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1，且nSn+1-（n+1）Sn=
              1
              2
              n（n+1）．
              （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
              （2）设cn=
              bn
              an+1
              ，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn≥m-
              9
              2n
              对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．
              难度：较难
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            • 8． 设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知8a1，3a2，2a2成等差数列，S4=5．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设数列{bn}的首项为2，公差为-a1的等差数列，其前n项和为Tn，求满足Tn-1＞0的最大正整数n．
              难度：中等
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            • 9． 设数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=An2+Bn+C（A≠0，n∈N*）．
              （1）当C=1时，
              ①设bn=an-n，若a1=
              3
              2
              ，a2=
              9
              4
              ．求实数A，B的值，并判定数列{bn}是否为等比数列；
              ②若数列{an}是等差数列，求
              B-1
              A
              的值；
              （2）当C=0时，若数列{an}是等差数列，a1=1，且∀n∈N*，λ-
              3
              n+1
              ≤
              n
              i=1
              		1+
              1
              a
              2
              i
              +
              1
              a
              2
              i+1
              ，求实数λ的取值范围．
              难度：较难
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            • 10． 设{xn}是首项为x1=2，公比为q（q∈N*）的等比数列，且6x3是16x1与2x5的等差中项，数列{yn}的前n项和Sn=n2（n∈N*）．
              （1）求数列{xn}的通项公式；
              （2）若不等式λxnyn-3xn+1≤n2•2n对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
              难度：中等
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