知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1=qa_n+d（q，d为常数）．
（1）当q=1，d=2时，求a₂₀₁₇的值；
（2）当q=3，d=-2时，记bn=
1
an-1
，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，证明：Sn＜
1
2
．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足a1=
3
2
，a_n+1=3a_n-1（n∈N₊）．
（1）若数列{b_n}满足bn=an-
1
2
，求证：{b_n}是等比数列；
（2）若数列{c_n}满足c_n=log₃a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：Tn＞
n(n-1)
2
．

难度：中等

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3．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，其前n项和为S_n，若S₉=99，且a₄，a₇，a₁₂成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
，证明：Tn＜
3
4
．

难度：中等

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4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，
（1）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对任意n∈N^*都有
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+
1
a4-a3
+…+
1
an+1-an
＜1．

难度：较难

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5．已知数列{a_n}中a₁=2，an+1=2-
1
an
，数列{b_n}中bn=
1
an-1
，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{
1
3
bn}的前n项和，求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（Ⅲ）设T_n是数列{ (
1
3
)n•bn }的前n项和，求证：Tn＜
3
4
．

难度：较难

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6．在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差数列，a₂，b₂，a₃+2成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=abn，数列{c_n}的前n和为S_n，若
S2n+4n
Sn+2n
＞an+t对所有正整数n恒成立，求常数t的取值范围．

难度：较易

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7．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜
m
20
对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

难度：中等

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8．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=2，4Sn=an•an+1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
1
an2
}与的前n项和为T_n，求证：
n
4n+4
＜Tn＜
1
2
．

难度：中等

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9．已知函数f （x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q的等比数列（q∈R，q≠1，q≠0）．若a₁=f（d-1），a₃=f （d+1），b₁=f （q-1），b₃=f （q+1），
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，
①求证：对任意的n≥2，（n∈N^*）时
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
＜1
②设数列{c_n}对任意的自然数n均有
c1
b1
+
c2
b2
+
c3
b3
+…+
cn
bn
=Sn+1成立，求c₁+c₂+c₃+…+c_n的值．

难度：较难

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10．已知各项为正的数列{a_n}的首项为a₁=2sinθ（θ为锐角），
4-
a
2
n
+a_n+1²=2，数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求证：当x∈（0，
π
2
）时，sinx＜x
（2）求a_n，并证明：若θ=
π
4
，则a₁+a₂+…+a_n＜π
（3）是否存在最大正整数m，使得b_n≥msinθ对任意正整数n恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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