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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}是等差数列，a5=5，若（6-a1）
              OB
              =a2
              OA
              +a3
              OC
              ，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点）；点列（n，bn）在函数f(x)=log
              1
              2
              x的反函数的图象上．
              （1）求an和bn；
              （2）记数列Cn=anbn+bn（n∈N*），若{Cn}的前n项和为Tn，求使不等式
              3-Tn
              n+3
              ＜
              1
              64
              成立的最小自然数n的值．
              难度：较难
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            • 2． 已知数列{an}中，a1=6，an+1=an+1，数列{bn}，点（n，bn）在过点A（0，1）的直线l上，若l上有两点B、C，向量
              BC
              =（1，2）．
              （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
              （2）设cn=n•2bn，试求数列{cn}的前n项和．
              难度：中等
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            • 3． 设向量
              a
              =(x ， 2)              ，
              b
              =(x+n ， 2x-1)              （n∈N*），函数y=
              a
              •
              b
              在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足b1=1，b1+b2+…+bn=(
              9
              10
              )n-1              ．
              （1）求证：an=n+1；
              （2）求数列{bn}的通项公式；
              （3）设cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 4． 已知数列{an}的前n项和为Sn，
              a
              =(Sn，1)，
              b
              =(-1，2an+2n)，
              a
              ⊥
              b
              ．
              （Ⅰ）证明数列{
              an
              2n-1
              }              为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
              （Ⅱ）设bn=
              (n-2011)an
              n+1
              ，是否存在正整数n0，使得对于任意的k∈N*，都有不等式bk≤bn成立？若存在，求出n0的值；若不存在，请说明理由；
              （Ⅲ）设Tn=|S1|-|S2|+…+|Sn|，求证：
              T0+Sn
              2
              ＞
              2-n
              1+n
              an              ．
              难度：较难
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            • 5． 设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是
              i
              、
              j
              ，坐标平面上点An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：
              ①
              OA1
              =4
              j
              且
              An-1A
              n              =
              i
              （n∈N*，n≥2）；
              ②
              OB1
              =
              i
              +
              1
              2
              j
              且
              Bn-1Bn
              =-
              1
              n(n+1)
              j
              (n∈N*，n≥2)              ．（其中O为坐标原点）
              （I）求向量
              OAn
              及向量
              OBn
              的坐标；
              （II）设an=
              OAn
              •
              OBn
              ，求an的通项公式并求an的最小值；
              （III）对于（Ⅱ）中的an，设数列bn=
              sin
              nπ
              2
              cos
              (n-1)π
              2
              (n+1)an-6n+3
              ，Sn为bn的前n项和，证明：对所有n∈N*都有Sn＜
              89
              48
              ．
              难度：较难
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            • 6． （理）已知向量
              a
              =(x2+1，-x)              ，
              b
              =(1，2
              		n2+1
              )               （n为正整数），函数f(x)=
              a 
              • 
              b 
              ，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为an．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）已知数列{bn}，对任意正整数n，都有bn•（4an2-5）=1成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，求
              lim
              n→∞
              Sn              ；
              （3）在点列A1（1，a1）、A2（2，a2）、A3（3，a3）、…、An（n，an）、…中是否存在两点Ai，Aj（i，j为正整数）使直线AiAj的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（i，j）；若不存在，请你写出理由．
              难度：中等
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            • 7． 设向量
              a 
              =(x ， 2)              ，
              b 
              =(x+n ， 2x-1)              （n为正整数），函数y=
              a 
              •
              b 
              在[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
              9
              10
              )n-1+(
              9
              10
              )n-2+…+
              9
              10
              +1              ．
              （1）求证：an=n+1（2）．
              （2）求bn的表达式．
              （3）若cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论．（注：
              a 
              =( a1 ，a2 )              与
              a 
              ={ a1 ，a2 }              表示意义相同）
              难度：中等
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