知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n；且向量
a
=（n，S_n），
b
=（4，n+3）共线．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{
1
nan
}的前n项和T_n．

难度：中等

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2．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，向量
a
=（
Sn
，1），
b
=（a_n+1，2）（n∈N^*）满足
a
∥
b
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式为b_n=
an
an+t
（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，求t和m的值；
（3）如果等比数列{c_n}满足c₁=a₁，公比q满足0＜q＜
1
2
，且对任意正整数k，c_k-（c_k+1+c_k+2）仍是该数列中的某一项，求公比q的取值范围．

难度：较难

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3．已知点A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…A_n（a_n，0），…依次在x轴上，满足a₁=1，a₂=5且
AnAn+1
=
1
2
An-1An
（n=2，3，…）．点B₁（b₁，c₁），B₂（b₂，c₂），…B_n（b_n，c_n），…依次在射线y=x（x≥0）上，且B₁（3，3），|
OBn
|=|
OBn-1
|+2
2
|（n=2，3，…）
（1）用n表示B_n的坐标；
（2）用n表示A_n的坐标；
（3）设S_n为数列{a_n+b_n}的前n项和，求S_n．

难度：中等

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4．已知向量
a1
=(1，-7)，
d
=(1，1)，对任意n∈N^*都有
an+1
=
an
+
d
．
（1）求|
an
|的最小值；
（2）求正整数m，n，使
am
⊥
an
．

难度：中等

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5．已知向量
a
=(sin
ωx
2
，
1
2
)，
b
=(cos
ωx
2
，-
3
2
)，ω＞0，x≥0，函数f(x)=
a
•
b
的第n（n∈N^*）个零点记作x_n（从小到大依次计数），所有x_n组成数列{x_n}．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若ω=2，求数列{x_n}的前100项和S₁₀₀．

难度：中等

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6．等差数列{a_n}的前n项和是S_n，且a₂=2，S₄=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，若
m
=(4，s 2)，
n
=(4k，-s3)，且
m
∥
n
，求实数k的值．

难度：中等

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7．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=
1
2
+log₂
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
，且有S_n=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N^*且n≥2，
（1）求点M的纵坐标值；
（2）求s₂，s₃，s₄及S_n；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N^*，且T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n≤λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的最小正整数值．

难度：较难

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8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=2，S₄=4，等式a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系中，设
u
=（4，S₂），
v
=（4k，-S₃），若
u
∥
v
，求实数k的值．

难度：中等

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9．在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}、{B_n}、{C_n}，其中A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）满足：向量
AnAn+1
与向量
BnCn
共线，且点列{B_n}在方向向量为（1，6）的直线上，a₁=a，b₁=-a．
（1）试用a与n表示a_n（n≥2）；
（2）若a₆与a₇两项中至少有一项是a_n的最小值，试求a的取值范围．

难度：中等

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10．已知点集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N+)，是否存在k∈N₊使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
（n≥2，n∈N^*）．

难度：较难

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